Утверждение истинно: сумма первых $n$ нечётных чисел равна $n^2$, то есть
$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2.$$
Доказательства.
1) Индукция.
База: при $n=1$ левая часть $2\cdot 1-1=1$, правая $1^2=1$. Шаг: пусть ${\sum }_{k=1}^n(2k-1)=n^2$. Тогда
$$\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=\sum _{k=1}^n(2k-1)+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1=(n+1{)}^2.$$ По индукции утверждение верно для всех $n$.
2) Комбинаторика (разбиение по максимальному индексу).
Число упорядоченных пар $(i,j)$ с $1\le i,j\le n$ равно $n^2$. Разобьём эти пары по значению $\max (i,j)=k$ для $k=1,\dots ,n$. Для фиксированного $k$ таких пар ровно $2k-1$ (пара $(k,k)$, плюс $k-1$ пар $(i,k)$ с $i<k$ и $k-1$ пар $(k,j)$ с $j<k$). Следовательно
$$n^2=\sum _{k=1}^n(2k-1).$$
3) Геометрия (слоёное построение квадрата).
Квадрат из $n^2$ точек можно получить из квадрата $(n-1{)}^2$ добавлением «Г»-образного слоя, содержащего ровно $2n-1$ точек. Значит
$$n^2=(n-1{)}^2+(2n-1),$$ и итеративно
$$n^2=1+(3)+(5)+\cdots +(2n-1)=\sum _{k=1}^n(2k-1).$$
(Дополнительно: алгебраическое тождество даёт то же напрямую:
$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\sum _{k=1}^{n}k-\sum _{k=1}^{n}1=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2.$$)