Утверждение (критерий). Пусть $p$ — простое число. Тогда
1) Если $p\le n$, то $p\nmid n!+1$.
2) Если $p=n+1$ и $p$ простое, то $p\mid n!+1$ (теорема Вильсона).
3) Если $p>n+1$, то
$$p\mid n!+1⟺(p-1-n)!\equiv (-1{)}^{p-n+1}(\mathrm{mod}p).$$
Доказательство.
1) Если $p\le n$, то $p$ входит в произведение $n!=1\cdot 2\cdots n$, значит $n!\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ и $n!+1\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, поэтому $p\nmid n!+1$.
2) Если $p=n+1$ и $p$ простое, то по теореме Вильсона $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$. Но $(p-1)!=(n)!$, откуда $n!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$, т.е. $p\mid n!+1$.
3) Пусть $p>n+1$. Из равенства $(p-1)!=n!{\prod }_{k=n+1}^{p-1}k$ и тот факта, что по модулю $p$ $$\prod _{k=n+1}^{p-1}k=\prod _{j=1}^{p-1-n}(p-j)=(-1{)}^{p-1-n}(p-1-n)!$$ получаем по Вильсону $-1\equiv (p-1)!\equiv n!(-1{)}^{p-1-n}(p-1-n)!(\mathrm{mod}p)$. Отсюда
$$n!\equiv -(-1{)}^{p-1-n}((p-1-n)!{)}^{-1}(\mathrm{mod}p).$$ Отсюда $n!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$ (то есть $p\mid n!+1$) эквивалентно
$$((p-1-n)!{)}^{-1}\equiv (-1{)}^{p-n+1}(\mathrm{mod}p),$$ а так как обращение по модулю $p$ допустимо, это эквивалентно записи в пункте 3:
$$(p-1-n)!\equiv (-1{)}^{p-n+1}(\mathrm{mod}p).$$
Комментарий о связях и ограничениях. Пункты 1–2 показывают связь с теоремой Вильсона: единый гарантированный случай делимости $n!+1$ простым равен $p=n+1$ при простоте $n+1$. Для $p>n+1$ критерий из пункта 3 даёт эквивалентное условие, но не даёт простого явного описания всех таких $p$ в терминах $n$ (существуют примеры, где $p>n+1$ делит $n!+1$, напр. $3!+1=7$). Также важно: любые простые делители числа $n!+1$ строго больше $n$. В общем, нет более простого универсального критерия, который бы предсказывал все случаи делимости или простоту $n!+1$ (в частности, не существует тривиального обобщения Вильсона, гарантирующего простоту $n!+1$ для произвольного $n$).