Кратко — несколько способов построения медиан треугольника ABC (стороны: $a=BC,b=CA,c=AB$) и рекомендации, когда удобен каждый подход.
1) Классическая конструкция (компас и линейка)
- Построить середину отрезка $BC$: взять любые радиусы $>\frac{a}{2}$, провести дуги из точек $B$ и $C$, соединить их пересечения — прямая будет серединным перпендикуляром; пересечение этой прямой с $BC$ — середина $M_a$.
- Провести отрезок $A{M}_a$ — это медиана к стороне $a$.
Применение: практическая построительная геометрия, чертежи, задачи на конструирование.
2) Через параллелограмм / перенос отрезков (конструктивный без вычислений)
- Для получения середины $M_a$ можно: взять любую точку $P$ и построить параллелограмм $BPCQ$; пересечение диагоналей параллелограмма даёт середину диагонали, затем получить $M_a$. Либо скопировать отрезок $BC$ и с помощью равных отрезков поделить пополам.
Применение: когда запрещено строить перпендикуляр, но допустимы переносы и параллельные прямые.
3) Координатный подход (удобен при численных данных)
- Положим $B=(0,0),C=(a,0)$. Координаты точки $A=(x_A,y_A)$ вычисляются из условий $AB=c,AC=b$:
$$x_A=\frac{c^2+a^2-b^2}{2a},y_A=\sqrt{c^2-x_A^2}.$$ - Середина $M_a$ имеет координаты $\left(\frac{a}{2},0\right)$. Уравнение медианы $A{M}_a$ — прямая через $A$ и $M_a$. Центроид (точка пересечения медиан):
$$G=\left(\frac{x_A+0+a}{3},\frac{y_A+0+0}{3}\right)=\left(\frac{x_A+a}{3},\frac{y_A}{3}\right).$$ Применение: расчёты, численные построения, программная геометрия, нахождение уравнений и точных координат пересечений.
4) Векторный метод (для доказательств и формул)
- Обозначим векторы вершин $A,B,C$. Середина $M_a$ задаётся вектором $M_a=\frac{B+C}{2}$. Вектор медианы от $A$: $m_a=M_a-A=\frac{B+C}{2}-A$.
- Центроид: $G=\frac{A+B+C}{3}$ (медианы пересекаются в точке, делящей их в отношении $2:1$).
- Формула длины медианы (Апполоний):
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ Краткое получение: положим начало в $A$, тогда ∣m⃗a∣2=∣b⃗+c⃗2∣2=14(∣b⃗∣2+∣c⃗∣2+2b⃗⋅c⃗)|\vec m_a|^2=\left|\tfrac{\vec b+\vec c}{2}\right|^2=\tfrac{1}{4}(|\vec b|^2+|\vec c|^2+2\vec b\cdot\vec c)∣ma ∣2= 2b+c 2=41 (∣b∣2+∣c∣2+2b⋅c) и выразим $b\cdot c$ через $a,b,c$.
Применение: алгебраические доказательства свойств медиан, вывод формул, работа с отношениями и гомотетиями; удобно в общей аналитической геометрии и механике.
Рекомендации по выбору метода и обоснование
- Если нужно реальное чертёжное построение — классическая конструкция (перпендикулярная биссектриса или перенос отрезков) — проста и надёжна.
- Если заданы численные длины и требуется получить координаты, уравнения прямых или точные численные значения — координатный подход быстрее и прямолинеен (всё сведётся к арифметике и извлечению корня).
- Если требуется доказательство общих свойств (конкуренция медиан, формулы для длин, соотношения) или работа с линейными комбинациями точек — векторный метод короче и нагляднее (сравнения векторов, средние и гомотетии выражаются сразу алгеброй).
- Часто удобно комбинировать: координаты для вычислений, вектора для доказательств и классические при практическом построении.
Это даёт несколько практических протоколов построения и чёткие критерии выбора метода в зависимости от задачи.