Функция и интервал:
$f(x)=x^3-2x+2$. Имеется знакопеременация на $[-2,-1]$: $f(-2)=-2,f(-1)=3$, значит есть корень в этом интервале (единственный вещественный корень).
Про методы — кратко и по пунктам.
1) Бисекция
- Условие применимости: $f$ непрерывна на $[a,b]$ и $f(a)f(b)<0$. Для нашего случая можно взять $[a,b]=[-2,-1]$.
- Условие сходимости: гарантированная (глобальная) сходимость к корню при указанных условиях.
- Скорость: линейная, погрешность уменьшается вдвое за итерацию: после $n$ итераций погрешность $\le \frac{b-a}{2^n}$.
- Преимущества/недостатки: очень надёжна, не требует производной; медленная.
- Рекомендация для задачи: надёжный «фолбэк»; даст корень с любой точностью, но потребуется много итераций.
2) Метод Ньютона
- Формула: $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$, где $f^{\prime }(x)=3x^2-2$.
- Условие применимости: $f$ дифференцируема, нужно вычислять $f^{\prime }$.
- Условие сходимости (локальное): если корень простой ($f^{\prime }(\alpha )\ne 0$) и начальное $x_0$ достаточно близко к $\alpha$, то сходимость квадратичная: $|x_{k+1}-\alpha |\le C|x_k-\alpha {|}^2$.
Более формально — при $f\in C^2$ в окрестности корня и $f^{\prime }(\alpha )\ne 0$ существует окрестность, в которой любой старт сходится квадратично.
- Риски: может расходиться или прыгать к другому корню при плохом старте; проблемы если $f^{\prime }(x)$ близко к нулю.
- Для данной функции: в корне $\alpha \approx -1.7693$ имеем $f^{\prime }(\alpha )=3{\alpha }^2-2\approx 7.39$ (не мало), значит метод должен быстро сходиться при разумном старте (например $x_0=-1.8$ или $-1.7$). Быстрая (квадратичная) сходимость и малое число итераций.
3) Метод секущих
- Формула: $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$.
- Условие применимости: нужен только доступ к значениям $f$ (две начальные точки $x_0,x_1$).
- Условие сходимости: локальная сходимость порядка $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$ для простого корня при $f\in C^2$ и достаточно близких начальных приближениях. Может потерпеть неудачу, если знаменатель близок к нулю или начальные точки плохи; сохраняет брутальность меньше чем бисекция.
- Преимущества/недостатки: быстрее бисекции, не требует производной; медленнее Ньютона по скорости, но дешевле, если вычисление производной дорого.
- Для задачи: хорошие стартовые точки, например $x_0=-2,x_1=-1.5$, обычно приведут к быстрой сходимости к тому же корню.
Критерии выбора в практике
- Нужна гарантия и простота → бисекция (например при наличии только бракетирования).
- Доступен/недорог в вычислении производной и есть разумный начальный приближение → метод Ньютона (быстрее).
- Производная недоступна или дорого вычисляется, но нужен быстрый метод → секущие (компромисс).
- Для надёжности используют защищённые схемы: комбинируют Ньютон/секущие с бисекцией (например, если шаг Ньютона выходит из бракетирования — выполнить бисекцию).
Короткое практическое заключение по уравнению $x^3-2x+2=0$:
- Надёжно: бисекция на $[-2,-1]$.
- Быстро и эффективно: Ньютон с $x_0=-1.8$ (или $-1.7$) — квадратичная сходимость, корень $\alpha \approx -1.7693$.
- Без производной: секущие с $x_0=-2,x_1=-1.5$ — сверхлинейная сходимость порядка $\approx 1.618$.