Кратко и по делу.
1) Основные тесты:
- Лейбница (альтернативный ряд): если $a_n\ge 0$, монотонно убывает к $0$, то ряд $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n$ сходится. Здесь $a_n=1/n^p$ для $p>0$ удовлетворяет этому условию, значит ряд сходится для всех $p>0$.
- Тест на абсолютную сходимость (сравнение / интегральный тест для степенных рядов): ряд $\sum 1/n^p$ (p‑series) сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Следовательно абсолютная сходимость нашего ряда при $p>1$; при $p\le 1$ абсолютная сходимость отсутствует.
2) Итог по значениям $p$:
- $p>1$: ряд абсолютно сходится и, в частном случае, можно выразить сумму через дзета‑функцию:
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^p}=(1-2^{1-p})\zeta (p).$$ - $p=1$: альтернативный гармонический ряд сходится условно к
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2.$$ - $0<p<1$: ряд сходится условно (по Лейбницу), но не абсолютно. Сумма даёт значение функции Дирихле (eta‑функция) $\eta (p)$ (при необходимости через аналитическое продолжение можно связать с $\zeta (p)$).
3) Частичные суммы и остаток:
- Пусть $S_n={\sum }_{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{k}^{-p}$. Тогда подпоследовательности чётных и нечётных частичных сумм монотонны и стремятся к одной предельной сумме: $S_{2n}$ возрастает, $S_{2n+1}$ убывает, и обе стремятся к $S$.
- Оценка остатка по Лейбницу:
$$|R_n|=\left|S-S_n\right|\le a_{n+1}=\frac{1}{(n+1{)}^p},$$ причём знак $R_n$ совпадает со знаком следующего члена $(-1{)}^{n+2}$.
- Следовательно скорость сходимости порядка $O(n^{-p})$ (чем меньше $p$, тем медленнее).
4) Тонкости при условной сходимости ($0<p\le 1$):
- Риманова теорема о перестановках: для условно сходящегося ряда перестановки членов могут менять сумму (давать любую заданную конечную величину или приводить к расходимости). Значит нельзя произвольно переставлять или группировать члены.
- Произведения рядов / критерии суммирования: при условной сходимости поведение при умножении рядов, при группировке или при применении преобразований (например, Коши‑произведение) может быть непредсказуемым — нужны дополнительные условия.
- Практическая подсказка: при вычислениях и оценках в случае $p\le 1$ сохранять порядок членов или пользоваться сходящимися преобразованиями (Абельево суммирование, регуляризация).
5) Дополнительные замечания:
- Частные известные значения: при $p=2$ $\sum (-1{)}^{n+1}/n^2={\pi }^2/12$.
- Для аналитического исследования и асимптотики можно применять абелево/дирихле‑преобразования, но для базовой классификации достаточно Лейбница + p‑теста.
Если нужно, могу вывести монотонность подпоследовательностей и доказать оценку остатка более формально.