Кратко и по делу.
Функция под модулем: $q(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Парабола открывается вверх, нули в $x=2$ и $x=3$, вершина в $x=\frac{5}{2}$ даёт $q\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{4}$. Значит на отрезке $[2,3]$ $q(x)\le 0$ и $|q(x)|=-q(x)$, вне этого отрезка $q(x)\ge 0$ и $|q(x)|=q(x)$.
Уравнение $|q(x)|=a$ с $a\ge 0$ эквивалентно системе двух квадратных уравнений
$$q(x)=a\text{и}q(x)=-a,$$ то есть
$$x^2-5x+(6-a)=0,x^2-5x+(6+a)=0.$$
Дискриминанты и корни:
$$D_1=25-4(6-a)=1+4a,x=\frac{5\pm \sqrt{1+4a}}{2}(\text{всегда два действительных корня при}a\ge 0);$$ $$D_2=25-4(6+a)=1-4a,x=\frac{5\pm \sqrt{1-4a}}{2}(\text{действительные только при}a\le \frac{1}{4}).$$
Итог по количеству и виду корней:
- $a=0$: корни $x=2$ и $x=3$ (две точки).
- $0<a<\frac{1}{4}$: из первого уравнения — два корня вне интервала $[2,3]$, из второго — два корня внутри $(2,3)$. Всего четыре различных действительных корня.
- $a=\frac{1}{4}$: из первого уравнения — два корня, из второго — один (двойной) корень в вершине $x=\frac{5}{2}$. Всего три различных действительных корня (один из них кратный).
- $a>\frac{1}{4}$: второе уравнение не даёт действительных корней, первое даёт два — итого два действительных корня.
Предпочтительные методы и почему:
- Разделение по знаку под модулем (получение двух уравнений $q(x)=\pm a$) — прямой и надёжный метод для квадратичных подмодульных выражений.
- Анализ дискриминанта — даёт точное условие существования корней и их число.
- Графический метод (пересечения параболы $y=q(x)$ с горизонтальными линиями $y=a$ и $y=-a$) даёт наглядное понимание, почему появляются/исчезают корни при $a=\frac{1}{4}$.
Эти методы эффективны, потому что квадратное выражение сводится к известной проблеме (квадратные уравнения) и позволяют сразу получить явные формулы корней и пороговые значения параметра.