Ответ: выражение равно 6.
Способы и обсуждение.
1) Прямое раскрытие квадрата (самое простое и точное в алгебре):
$$(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}{)}^2=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=4+2\sqrt{4-3}=4+2\cdot 1=6.$$
2) Представление вложенных корней в более простых радикалах (полезно для упрощения подкоренных выражений):
$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},$$ откуда
$$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6},(\sqrt{6}{)}^2=6.$$
3) Метод подстановки / сопряжённых (альтернатива раскрытию квадрата):
пусть $a=\sqrt{2+\sqrt{3}}$, $b=\sqrt{2-\sqrt{3}}$. Тогда $a^2+b^2=4$, $ab=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=1$, и
$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab=4+2\cdot 1=6.$$
Точность и выбор оптимального метода:
- Методы 1–3 основаны на алгебраических тождествах и дают точный (аналитический) ответ без приближений; они эквивалентны по точности.
- Представление через $\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2}$ (метод 2) часто удобнее для ручных вычислений и для численной устойчивости, так как даёт меньшую вложенность корней.
- Численные приближения менее точны из‑за округлений и вообще не нужны здесь.
Оптимальный метод: метод 1 или 2 — я выбираю метод 2 как наиболее прозрачно показывающий упрощение вложенных корней. Финальный ответ: $6$.