Ошибка в формулировке и логике:
- Фраза «дифференцируемая в точности раз» некорректна без указания числа раз; далее неясно, что значит «сумма её производных» (с каких порядков по какие, конечная или бесконечная сумма, по какой области суммирование и т. д.).
- Нельзя без дополнительных условий приписывать функции, интегралу и сумме разных по порядку производных какое‑то тождество: суммы производных разных порядков — это вообще разные функции, их сумма может не сходиться.
Контрпример (показывает явную несостоятельность утверждения в очевидном смысле): пусть $f(x)=x$ на $[0,1]$. Тогда ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}$, а производная $f^{\prime }(x)=1$ и все высшие производные равны нулю, сумма «всех» производных (например, $1+0+0+\dots$) даёт 1; $\frac{1}{2}\ne 1$.
Корректные утверждения, которые, видимо, имелись в виду:
1) (Основная теорема математического анализа) Если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$ с интегрируемой производной, то
$${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a).$$ 2) (Тейлор с интегральным остатком) Если $f$ $n$-раз непрерывно дифференцируема на $[a,b]$, то для $x\in [a,b]$ $$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a{)}^{n-1}+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}{f}^{(n)}(t)dt.$$ Это выражение корректно связывает функцию и её производные через интеграл (а не «интеграл равен сумме производных»).
Кратко: исходное утверждение некорректно и неформально; правильные связи между интегралами и производными даёт основная теорема и формула Тейлора с интегральным остатком.