Кейс по алгебре: при решении системы нелинейных уравнений часто возникает выбор между подстановкой и устранением переменной — приведите пример системы, где подстановка усложняет выражения, и объясните, когда лучше применять метод равных коэффициентов или численные методы
Кейс по алгебре: при решении системы нелинейных уравнений часто возникает выбор между подстановкой и устранением переменной — приведите пример системы, где подстановка усложняет выражения, и объясните, когда лучше применять метод равных коэффициентов или численные методы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Рассмотрим систему
{x3+y=1,x+y3=1. \begin{cases}
x^3+y=1,\\[4pt]
x+y^3=1.
\end{cases}
{x3+y=1,x+y3=1.
Если подставить y=1−x3y=1-x^3y=1−x3 в второе уравнение, получим
x+(1−x3)3=1, x+(1-x^3)^3=1,
x+(1−x3)3=1, что развёрнуто даёт многочлен девятой степени
x+1−3x3+3x6−x9=1⇒−x9+3x6−3x3+x=0, x+1-3x^3+3x^6-x^9=1\quad\Rightarrow\quad -x^9+3x^6-3x^3+x=0,
x+1−3x3+3x6−x9=1⇒−x9+3x6−3x3+x=0, т.е. нужно решать многочлен степени 999 — громоздко.
Если вместо этого применить метод устранения (вычитание), получим
(x3+y)−(x+y3)=0⇒x3−x+y−y3=0. (x^3+y)-(x+y^3)=0\quad\Rightarrow\quad x^3-x+y-y^3=0.
(x3+y)−(x+y3)=0⇒x3−x+y−y3=0. Это выражение факторизуется:
x3−x+y−y3=(x−y)(x2+xy+y2−1)=0. x^3-x+y-y^3=(x-y)\bigl(x^2+xy+y^2-1\bigr)=0.
x3−x+y−y3=(x−y)(x2+xy+y2−1)=0. Отсюда два более простых случая:
1) x=yx=yx=y. Подстановка даёт кубическое уравнение x3+x−1=0x^3+x-1=0x3+x−1=0 (куб -- существенно проще, чем степень 999);
2) x2+xy+y2=1x^2+xy+y^2=1x2+xy+y2=1 — тоже значительно проще для дальнейшего анализа.
Когда лучше применять метод равных коэффициентов / устранения:
- Когда уравнения имеют схожую структуру или симметрию (как в примере), вычитание/сложение может сократить степень и привести к факторизации.
- Когда при подстановке одна переменная выражается через сложную функцию (степень высокая, корни, дробности) и это увеличит степень или введёт вложенные радикалы.
Когда лучше использовать численные методы:
- Когда система содержит трансцендентные функции (ex, sin, lne^x,\ \sin,\ \lnex, sin, ln) или при подстановке получается трансцендентное уравнение.
- Когда степень многочлена высокая (обычно >4) и аналитическое решение громоздко или невозможно в элементарных выражениях.
- Когда нужны приближённые корни: применяйте методы для систем (мультивариантный метод Ньютона)
xn+1=xn−J−1(xn)F(xn), \mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-J^{-1}(\mathbf{x}_n)F(\mathbf{x}_n),
xn+1 =xn −J−1(xn )F(xn ), где FFF — вектор функций, JJJ — якобиан; или численные методы продолжения/градиентные методы. Выбор численного метода зависит от гладкости функций и требуемой точности; важен хороший начальный приближённый вектор и проверка невырожденности якобиана.
Краткое правило выбора:
- Подстановка — если одна переменная явно выражается простым образом.
- Устранение (равные коэффициенты/вычитание) — если структуры совпадают или можно сократить степень.
- Численные методы — если аналитический путь даёт крайне высокие степени/трансцендентные уравнения или требуется численный результат.