- Производная: для $f(x)=x^x$ при $x>0$ имеем $\ln f(x)=x\ln x$, откуда
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x+1,f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1).$$
- Критические точки и монотонность: $f^{\prime }(x)=0$ при $\ln x+1=0$, т.е. в точке $x={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. Для $0<x<\frac{1}{\mathrm{e}}$ имеем $\ln x+1<0$ (убывает), для $x>\frac{1}{\mathrm{e}}$ — $\ln x+1>0$ (растёт). Следовательно $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ — глобальный минимум на $(0,\infty )$ и
$$f\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)={\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)}^{1/\mathrm{e}}={\mathrm{e}}^{-1/\mathrm{e}}.$$ Глобальных максимумов на $(0,\infty )$ нет.
- Вторая производная (для проверки характера критической точки):
$$f^{\prime \prime }(x)=x^x((\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}),$$ и в точке $x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ получается $f^{\prime \prime }(\frac{1}{\mathrm{e}})>0$, что подтверждает минимум.
- Пределы:
$$\underset{x\to 0+}{\lim }{x}^x=\underset{x\to 0+}{\lim }{\mathrm{e}}^{x\ln x}={\mathrm{e}}^0=1,$$ причём при маленьких $x>0$ выполняется разложение $x^x=1+x\ln x+O((x\ln x{)}^2)$, так что $x^x\to 1$ снизу. И
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^x=+\infty ,$$ функция растёт сверхэкспоненциально.
- Тонкости аналитического продолжения и нецелые $x$:
- Для вещественных положительных $x$ определение $x^x={\mathrm{e}}^{x\ln x}$ однозначно и аналитично.
- При попытке продолжить на комплексную плоскость нужно выбрать ветвь логарифма: для комплексного $z$ обычно берут \(z^z=\mathrm{e}^{z\Log z}\), где \(\Log z\) — главная ветвь логарифма; функция получается многозначной при обходе ветви (обычно разрез по отрицательной вещественной оси).
- Для отрицательных вещественных оснований $x^x$ в общем комплексно-многозначна; только для некоторых рациональных показателей с подходящими знаменателями значения могут быть действительными.
- Следствие: при аналитическом продолжении необходимо фиксировать ветвь \(\Log\); без этого выражение $x^x$ для нецелых (и особенно комплексных или отрицательных) аргументов неоднозначно.