Кратко: для двух пересекающихся окружностей (пересекаются в точках $P,Q$) существует ровно две общие касательные. Ниже — несколько «неочевидных» построений (компас+линейка), с указанием шагов, достоинств и уязвимостей.
Обозначения: центры окружностей $O_1,O_2$, радиусы $r_1,r_2$.
1) Метод центров подобия (через касательные в точках пересечения)
- Идея: центры подобия (гомотетии), отображающие одну окружность в другую, являются центрами из которых касательные к одной окружности переходят в касательные к другой; касательные из такого центра — искомые общие касательные.
- Шаги:
1. Для каждой окружности проведите радиусы $O_{1}P$ и $O_{2}P$ и через $P$ постройте касательные (перпендикуляры к этим радиусам). Их пересечение обозначьте $S_P$.
2. Аналогично из точек $Q$ получите точку $S_Q$. Точки $S_P,S_Q$ — два центра подобия (внешний и внутренний).
3. Из одного из центров (например $S_P$) постройте две касательные к любой из окружностей (стандартное построение касательных из внешней точки). Эти прямые будут касательными к обеим окружностям — искомые общие касательные.
- Сложность: умеренная (построение двух касательных в точках пересечения + касательные из внешней точки).
- Устойчивость: хорошая. Касательная в точке пересечения строится просто (перпендикуляр к радиусу), но если $P$ близко к центрам или к числу вычислительных погрешностей, пересечение касательных $S_P$ может оказаться очень далеко, что усиливает ошибки при проведении касательных из $S_P$. В общем — стабильнее, чем методы, требующие делений отрезков в больших масштабах, но может страдать от «удалённости» $S_P$.
2) Метод деления отрезка центров (центры подобия на линии центров)
- Идея: центры внешней и внутренней подобия лежат на прямой $O_1{O}_2$ и делят отрезок в отношении $r_1:r_2$ (внутренне и внешне). Найдя такой центр $S$ можно далее провести касательные из $S$ к одной окружности.
- Шаги:
1. Постройте прямую $O_1{O}_2$.
2. Разделите этот отрезок внутренне и внешне в отношении $r_1:r_2$ (классическое построение деления отрезка в заданном отношении).
3. Полученные точки — центры подобия $S_{\text{int}},S_{\text{ext}}$. Из любой такой точки постройте касательные к одной окружности — они будут общими касательными.
- Сложность: невысокая (деление в отношении + касательные из внешней точки).
- Устойчивость: хорошая при нормальных масштабах. Минус — если отношение $r_1:r_2$ очень близко к $1$ или если $O_1$ и $O_2$ очень близки, точки подобия окажутся далеко или между центрами близко, и геометрическая погрешность увеличится. В целом метод проще и чаще более точен на чертеже, чем метод (1), потому что не требует проведения касательных в пересечении $P$ и $Q$.
3) Метод «свертки» радиусов (редукция разности радиусов)
- Идея: сведём задачу к построению касательных из точки к одной окружности. Для внешних общих касательных: заменить большую окружность окружностью с радиусом $|r_1-r_2|$; затем касательные из второго центра к этой новой окружности дадут направления касательных, которые смещаются на расстояние $r_2$.
- Шаги (предположим $r_1>r_2$; иначе поменять роли):
1. Постройте окружность $C^{\prime }$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1-r_2$.
2. Из точки $O_2$ постройте касательные к $C^{\prime }$. Это даёт две прямые; каждая соответствует направлению искомой общей касательной.
3. От полученных прямых отступите от линии (вдоль нормали) на расстояние $r_2$ наружу — полученные параллельные линии и будут общими касательными исходных окружностей. (Практически: через точку касания на $C^{\prime }$ проведите нормаль и сдвиньте на $r_2$; либо проведите касательную к большой окружности в точке, получаемой из направления касательной.)
- Сложность: невысокая, стандартна для задач касательных.
- Устойчивость: очень хорошая. Построение касательных из центра к окружности и параллельный сдвиг — операции стабильны; метод предпочтителен на практике. Важно корректно выбрать знак $|r_1-r_2|$ и направление смещения.
4) (Дополнительно, продвинутый) Метод инверсии
- Идея: инвертировать относительно точки пересечения (например $P$) — тогда две исходные окружности станут прямыми; искомые касательные преобразуются в окружности, проходящие через $P$ и касающиеся двух прямых — это сводится к построению биссектрис угла между прямыми и обратному отображению. Метод короче в теории, но на чертеже сложнее реализовать.
- Сложность: высокая (инверсия «вручную», затем обратное отображение).
- Устойчивость: низкая при ручном построении (чувствителен к точности инверсии).
Краткая сравнительная таблица (качественно)
- По сложности (низкая → высокая): метод (3) ≈ метод (2) < метод (1) < метод (4).
- По устойчивости к погрешностям: метод (3) ≈ метод (2) > метод (1) > метод (4).
- По универсальности (работает всегда для пересекающихся окружностей): все перечисленные методы применимы, но в (3) нужно выбрать большую окружность для корректной «редукции» (если $r_1=r_2$, редукция упрощается — новые радиусы $0$ и касательные проходят через центры).
Практические рекомендации
- На бумаге обычно самый удобный и стабильный — метод (3) (редукция радиусов). Он прост, мало чувствителен к удалённости вспомогательных точек и не требует больших переносов.
- Если хочется «чистого» геометрического обоснования через подобие — метод (2) (деление отрезка центров) даёт понятную конструкцию.
- Метод через касательные в $P,Q$ (1) хорош для теоретических рассуждений и при аккуратной работе, но следует учитывать возможное большое расстояние до центров подобия.
Если нужно, могу привести пошаговое чертёжное описание выбранного метода (1–3) с подробными инструкциями для компаса и линейки.