Решение.
1) Метод замены (наиболее прямой). Сделаем замену $y=x^2$. Получаем квадратное уравнение
$$y^2-5y+4=0.$$ Дискриминант $\Delta =25-16=9$. Корни:
$$y=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow y_1=4,y_2=1.$$ Возвращая $x$: $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$, $x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$. Итого все корни:
$$x=\pm 1,\pm 2.$$
2) Метод факторизации. Можно сразу разложить
$$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2),$$ откуда те же корни $x=\pm 1,\pm 2$.
3) Численные методы. Подходящими являются метод Ньютона
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)},f(x)=x^4-5x^2+4,$$ метод секущих, бисекции и т.д. Они дают приближённые значения корней и полезны, когда точное разложение недоступно.
Сравнение и обоснование выбора для контрольной работы.
- Замена переменной и факторизация дают точные корни аналитически с минимальной вычислительной нагрузкой — быстро и надёжно. Для уравнения вида $x^4+a{x}^2+b=0$ это стандартный и предпочтительный подход.
- Численные методы нужны, если корни не выражаются элементарно или требуется лишь приближение; они сложнее в записи и дают приближения (погрешность), что нежелательно в контрольной при возможности точного решения.
- Общая формула для четвертой степени громоздка и нецелесообразна здесь.
Вывод: для контрольной работы оптимально использовать замену $y=x^2$ (с последующей факторизацией), т.к. это кратко, строго и даёт точный ответ $x=\pm 1,\pm 2$.