Коротко: в обычной арифметике (Пеановы аксиомы, целые числа, рациональные и т. п.) доказать, что 2⋅2=52\cdot 2=52⋅2=5, нельзя — это ложное утверждение (в этих системах верно 2⋅2=42\cdot 2=42⋅2=4). Почему нельзя: в формальной системе, где определены 0,1,2= 1+10,1,2=\!1+10,1,2=1+1, умножение и аксиомы, из них следует 2⋅2=4 \;2\cdot 2=4\;2⋅2=4. Утверждение 2⋅2=52\cdot 2=52⋅2=5 противоречит этим аксиомам, поэтому невыводимо, иначе система была бы непротиворечивой и одновременно давала ложное равенство. Когда же можно «доказать» 2⋅2=52\cdot 2=52⋅2=5: - Ошибочное доказательство (деление на ноль). Пример ложного шага: a=b,a2=ab,a2−b2=ab−b2,
a=b,\quad a^2=ab,\quad a^2-b^2=ab-b^2, a=b,a2=ab,a2−b2=ab−b2,(a−b)(a+b)=(a−b)b⇒a+b=b⇒2b=b⇒2=1⇒2⋅2=5.
(a-b)(a+b)=(a-b)b\Rightarrow a+b=b\Rightarrow 2b=b\Rightarrow 2=1\Rightarrow 2\cdot2=5. (a−b)(a+b)=(a−b)b⇒a+b=b⇒2b=b⇒2=1⇒2⋅2=5.
Ошибка: деление на a−ba-ba−b, которое равно 000. - Переопределение терминов: если символ «2» или операция «⋅\cdot⋅» определить иначе (например, положить, что символ «2» обозначает обычное число 555), то формально 2⋅2=52\cdot2=52⋅2=5 станет тождественно истинным — но это уже не та арифметика. - Дегenerate или несовместная система: в тривиальной кольце Z/1Z\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}Z/1Z все классы равны, поэтому 4≡5(mod1)4\equiv5\pmod 14≡5(mod1) и формально «2⋅2=52\cdot2=52⋅2=5» верно в этой вырожденной системе; или в противоречивой теории по принципу ex falso quodlibet из противоречия выводится любое утверждение. Вывод: в корректной стандартной арифметике доказать нельзя; «доказательства» либо ошибочны, либо основаны на изменённых/противоречивых определениях.
Почему нельзя: в формальной системе, где определены 0,1,2= 1+10,1,2=\!1+10,1,2=1+1, умножение и аксиомы, из них следует 2⋅2=4 \;2\cdot 2=4\;2⋅2=4. Утверждение 2⋅2=52\cdot 2=52⋅2=5 противоречит этим аксиомам, поэтому невыводимо, иначе система была бы непротиворечивой и одновременно давала ложное равенство.
Когда же можно «доказать» 2⋅2=52\cdot 2=52⋅2=5:
- Ошибочное доказательство (деление на ноль). Пример ложного шага:
a=b,a2=ab,a2−b2=ab−b2, a=b,\quad a^2=ab,\quad a^2-b^2=ab-b^2,
a=b,a2=ab,a2−b2=ab−b2, (a−b)(a+b)=(a−b)b⇒a+b=b⇒2b=b⇒2=1⇒2⋅2=5. (a-b)(a+b)=(a-b)b\Rightarrow a+b=b\Rightarrow 2b=b\Rightarrow 2=1\Rightarrow 2\cdot2=5.
(a−b)(a+b)=(a−b)b⇒a+b=b⇒2b=b⇒2=1⇒2⋅2=5. Ошибка: деление на a−ba-ba−b, которое равно 000.
- Переопределение терминов: если символ «2» или операция «⋅\cdot⋅» определить иначе (например, положить, что символ «2» обозначает обычное число 555), то формально 2⋅2=52\cdot2=52⋅2=5 станет тождественно истинным — но это уже не та арифметика.
- Дегenerate или несовместная система: в тривиальной кольце Z/1Z\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}Z/1Z все классы равны, поэтому 4≡5(mod1)4\equiv5\pmod 14≡5(mod1) и формально «2⋅2=52\cdot2=52⋅2=5» верно в этой вырожденной системе; или в противоречивой теории по принципу ex falso quodlibet из противоречия выводится любое утверждение.
Вывод: в корректной стандартной арифметике доказать нельзя; «доказательства» либо ошибочны, либо основаны на изменённых/противоречивых определениях.