Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.
1) Школьный уровень — эвристика и строгое доказательство (предпочтительно геометрическое, без дифференцирования).
- Рассмотреть единичную окружность, центральный угол $x\in (0,\frac{\pi }{2})$. Обозначения стандартные — сектор с углом $x$, вписанный треугольник и треугольник, образованный касательной. Сравнивая площади, получаем
$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x.$$ Домножив на $2/\sin x>0$ и взяв обратные, имеем
$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ Так как $\cos x\to 1$ при $x\to 0$, по теореме о двух полярностях (сqueeze) следует $\frac{\sin x}{x}\to 1$. Для отрицательных $x$ используется чётность отношения. Это полностью строго и наглядно подходит для школьного курса.
2) Университетский уровень — более аналитические строгие аргументы.
- Метод среднего значения интеграла. Если считать, что $\cos$ непрерывна и $\sin x={\int }_0^x\cos tdt$ (это стандартное аналитическое определение или следствие ОДУ), то
$$\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}{\int }_0^x\cos tdt=\cos c$$ для некоторого $c\in (0,x)$ (теорема о среднем для интегралов). При $x\to 0$ имеем $c\to 0$ и $\cos c\to 1$, откуда предел равен 1. Этот способ короток и строг, не использует разложений в ряд.
- Доказательство через производную. Если синус задан аналитически и известно, что ${\sin }^{\prime }0=\cos 0$, то по определению производной
$${\sin }^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\cos 0=1.$$ Это тоже строго, но требует заранее корректного определения $\sin$ и $\cos$ (чтобы не получить круговую логику).
Замечания и рекомендация:
- Для школьников — однозначно геометрическое squeeze-доказательство (наглядно и достаточно строго).
- Для студентов мат. направлений — метод среднего значения интеграла или доказательство через производную при аккуратном определении $\sin ,\cos$. L’Hôpital применять можно, но он требует известных производных синуса и косинуса, поэтому не уменьшает круговой зависимости.