Коротко опишу три разных способа, приведу расчёты и сравню по числу операций, ошибко‑рискe и удобству устного счёта. Итоговый результат: $12345\times 678=8369910.$
1) Классическое столбиком (по разрядам)
- Делим множитель: $678=600+70+8$. Считаем частичные произведения:
$$12345\times 8=98760,12345\times 70=864150,12345\times 600=7407000.$$ Складываем: $98760+864150+7407000=8369910$.
- Операции: $5\times 3=15$ однозначных умножений + суммирование трёх многоразрядных чисел (2 больших сложения).
- Ошибки: частые при переносах/carry и при сдвигах строк; требует аккуратного письма.
- Удобство устно: среднее — метод механический, но 15 умножений с переносами тяжеловаты в уме.
2) Дистрибутивность с округлением: $678=700-22$ - Считаем:
$$12345\times 700=12345\times 7\times 100=86415\times 100=8641500,$$ $$12345\times 22=12345\times (20+2)=246900+24690=271590.$$ Вычитаем: $8641500-271590=8369910$.
- Операции: два умножения «на одну цифру» ($\times 7$ и $\times 2$), то есть $5+5=10$ однозначных умножений, плюс одно многоразрядное вычитание и пара сдвигов/сложений при составлении $\times 22$.
- Ошибки: меньше переносов, основной риск — ошибка в вычитании или в знаке при разложении.
- Удобство устно: лучшее из трёх — минимум умножений, удобно в уме, особенно если комфортно вычитать.
3) Разбиение множимого: $12345=12300+45$ - Считаем по частям:
$$12300\times 678=(123\times 678)\times 100.$$ Удобно $123\times 678=123\times (700-22)=86100-2706=83394$, значит $12300\times 678=8339400$.
$$45\times 678=45\times (680-2)=45\times 680-90=30600-90=30510.$$ Складываем: $8339400+30510=8369910$.
- Операции: умножения на меньшие числа (например для $123\times 678$ можно обойтись $3+3$ однозначными умножениями при разложении), в сумме около $10\text{–}12$ однозначных умножений + сложения/сдвиги.
- Ошибки: меньше переносов, но требуется следить за корректностью разбиения и несколькими промежуточными суммами.
- Удобство устно: хороший компромисс — операции с меньшими числами, удобен тем, кто любит разбивать большие числа.
Краткое сравнение
- Число однозначных умножений: столбиком ≈$15$, метод $700-22$ ≈$10$, разбиение $12300+45$ ≈$10\text{–}12$.
- Риск ошибок: столбиком > разбиение ≈ округление (вычитание) — столбиком наиболее подвержен ошибкам переносов; округление даёт минимальную нагрузку умножений, но есть риск при вычитании.
- Удобство устно: метод $700-22$ лучше всего (мало умножений, простые сдвиги), разбиение — хороший запасной вариант, столбиком — надёжно при записи, но хуже в уме.
Вывод: для устного счёта рекомендую $678=700-22$ (вариант 2); все три пути дают тот же ответ $8369910.$