Коротко: в исходном доказательстве есть один скрытый (некорректный) шаг — использование единственности решения исходной задачи при условии лишь непрерывности $f$. Исправленная формулировка требует условия единственности (например, локальной липшицевости $f$). Ниже — разбор шагов и корректная версия с доказательством.
1) Формулировка (исходная): «Любое непрерывное на $\mathbb{R}$ периодическое решение уравнения $y^{\prime }=f(y)$ обязательно установившееся». Пояснение: под «установившееся» здесь корректно понимать «стационарное (постоянное) решение», т.е. равновесие.
2) Стандартные шаги «доказательства» и их правильность:
- (Верно) Пусть $y(t)$ — периодическое решение с периодом $T>0$. Если $y$ не постоянно, то его образ на отрезке $[0,T]$ имеет минимум $m$ и максимум $M$ с $m<M$.
- (Верно) В точках достижения минимума и максимума производная равна нулю, значит $f(m)=0$ и $f(M)=0$.
- (Неверно в данном общемity) Далее обычно берут начальные данные $y(t_0)=m$. Замечают, что решение $y(t)\equiv m$ (постоянное) существует, а периодическое решение проходит через $m$ и «уходит» от $m$, и делают вывод, что это противоречит единственности решения начальной задачи. Этот шаг требует свойства единственности решения для начальной задачи. Но непрерывность $f$ сама по себе единственности не даёт (нужна, например, локальная липшицевость). Следовательно, без дополнительного условия на $f$ вывод некорректен.
3) Корректная версия теоремы:
- Теорема. Пусть $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ непрерывна и для каждой начальной точки выполняется единственность решения начальной задачи $y^{\prime }=f(y),y(t_0)=y_0$ (в частности, достаточно требовать $f$ локально-липшицева). Тогда любое периодическое решение уравнения $y^{\prime }=f(y)$ постоянно (является равновесием).
- Доказательство. Пусть $y(t)$ — периодическое решение. Если $y$ не постоянно, положим $m=\min y,M=\max y$ с $m<M$. В точках достижения минимума и максимума имеем $f(m)=0$ и $f(M)=0$. Рассмотрим начальную задачу с данными $y(t_0)=m$. Одно решение этой задачи — константа $y(t)\equiv m$. Периодическое решение тоже проходит через $m$ в некоторый момент и (раз мы предположили $y$ не константа) уходит от $m$, то есть является иным решением той же начальной задачи — противоречие с единственностью. Следовательно $y$ должно быть постоянным.
4) Замечание о случае без единственности: если $f$ лишь непрерывна и единственность не гарантирована, утверждение может быть неверным в общем случае (существуют примеры поведения решений с «залипанием» и последующим уходом при потерях единственности). Поэтому в формулировке обязательно указывать условие единственности (например, $f$ локально-липшицева).
Таким образом: исправленная и точная формулировка — «Если уравнение $y^{\prime }=f(y)$ обладает единственностью решений (например, $f$ локально-липшицева), то любые его периодические решения являются постоянными (равновесиями)».