Рассмотрим функцию $f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$. Разбейте числовую ось по точкам $1,2,3$ и запишите явные выражения:
- для $x\le 1$: $f(x)=6-3x$ (наклон $-3$);
- для $1\le x\le 2$: $f(x)=4-x$ (наклон $-1$);
- для $2\le x\le 3$: $f(x)=x$ (наклон $+1$);
- для $x\ge 3$: $f(x)=3x-6$ (наклон $+3$).
Отсюда минимум достигается в точке медианы $x=2$ и равен $f(2)=2$. Функция строго убывает на $(-\infty ,2]$ и строго возрастает на $[2,\infty )$, непрерывна и не имеет постоянных участков.
Следовательно:
- при $k<2$ решений нет;
- при $k=2$ ровно одно решение: $x=2$;
- при $k>2$ ровно два решения (по одному слева и справа от $2$);
- бесконечно много решений не возникает.
Алгоритм исследования: разбить по точкам, где меняются знаки модулей; получить кусочно-линейную функцию, найти её монотонность и минимум; сравнить горизонтальную прямую $y=k$ с графиком $y=f(x)$.