Ошибка — путаница импликации с её обратной. Теорема о промежуточном значении говорит: если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и $f(a)f(b)<0$, то существует $c\in (a,b)$ с $f(c)=0$. Из этого не следует обратное утверждение — из $f(a)f(b)>0$ нельзя заключать, что корней нет.
Контрпример: возьмём $f(x)=(x-1)(x-2)$ на отрезке $[0,3]$. Тогда $f(0)=2>0$, $f(3)=2>0$, но внутри есть корни $x=1$ и $x=2$. Функция сначала переходит через ноль вниз, потом снова вверх, поэтому значения на концах совпадают по знаку.
Замечание: если дополнительно известно, что $f$ монотонна на $[a,b]$, то тогда $f(a)$ и $f(b)$ одного знака действительно исключают наличие корня — но монотонность здесь существенна.