Рассмотрим ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{n}^{-p}$ для $p>0$.
1) Абсолютная сходимость. Норма членов $|a_n|=n^{-p}$. По признаку $p$-ряда ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-p}$ сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Значит ряд сходится абсолютно при $p>1$.
2) Условная сходимость. Для $0<p\le 1$ ряд $\sum n^{-p}$ расходится, значит абсолютной сходимости нет. Но члены положительны, убывают и стремятся к нулю, поскольку для $x>0$ $\frac{d}{dx}{x}^{-p}=-p{x}^{-p-1}<0$ и ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{-p}=0$. По признаку Лейбница (альтернативный ряд с убывающими к нулю членами) ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{n}^{-p}$ сходится. Следовательно для $0<p\le 1$ сходимость условная.
Итого:
- Абсолютная сходимость при $p>1$.
- Условная (но не абсолютная) сходимость при $0<p\le 1$.
Использованные тесты: критерий $p$-ряда для $\sum n^{-p}$ и признак Лейбница для чередующихся рядов.