Обозначим стороны: $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Медиана из вершины $B$ (к середине $M$ отрезка $AC$) равна $m_b$. По формуле для медианы
$$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}.$$ Условие $m_b=\frac{b}{2}$ даёт
$$\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\frac{b}{2}\Rightarrow 2a^2+2c^2-b^2=b^2,$$ откуда
$$a^2+c^2=b^2.$$ Это равенство означает, что угол при вершине $B$ прямой: $\angle B=90^{\circ }$. Так как $\angle A=60^{\circ }$, получаем $\angle C=30^{\circ }$. Следовательно треугольник $ABC$ — прямоугольный с углами $90^{\circ },60^{\circ },30^{\circ }$ (т. е. треугольник $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$).
Из этого вытекают все основные следствия:
- Соотношение сторон (до подобия) $AB:BC:AC=1:\sqrt{3}:2$. В частности
$$AB=\frac{b}{2},BC=\frac{\sqrt{3}}{2}b.$$ - Точка $M$ (середина $AC$) — центр описанной окружности; радиус описанной окружности $R=BM=\frac{b}{2}$. (Это общий факт: в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы — центр описанной окружности.)
- Так как $AB=AM=\frac{b}{2}$ и угол $\angle BAM=\angle A=60^{\circ }$, треугольник $ABM$ равносторонний: $AB=BM=AM=\frac{b}{2}$.
- Точка $B$ лежит на окружности с диаметром $AC$; все указанные равенства однозначно определяют подобие треугольника $ABC$ классу $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$.
Таким образом условие $BM=\frac{1}{2}AC$ при $\angle A=60^{\circ }$ полностью определяет форму треугольника: единственный случай (с точностью до подобия) — прямоугольный $30^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }$ треугольник с перечисленными свойствами.