1) Базовая оценка вероятности выигрыша (урна выбирается случайно). Пусть есть две урны $U_1,U_2$ с известными вероятностями вытащить выигрышный цвет $p_1=P(\text{win}|U_1),p_2=P(\text{win}|U_2)$ и вероятность выбора урны $P(U_1)=q,P(U_2)=1-q$. Тогда по формуле полной вероятности
$$P(\text{win})=q{p}_1+(1-q)p_2.$$ При равновероятном выборе урн $q=1/2$, т.е. $P(\text{win})=\frac{1}{2}(p_1+p_2)$.
2) Если игрок может выбирать урну и за определённый цвет известна выплата. Пусть за цвет A выплата $w_A$, за B — $w_B$. Тогда ожидаемая выплата при выборе $U_i$ $$E[\text{payoff}|U_i]=w_A\cdot P(A|U_i)+w_B\cdot P(B|U_i).$$ Стратегия: выбрать урну $U_i$ с максимальным $E[\text{payoff}|U_i]$. В частном случае «выигрыш только при цвете A» (т.е. $w_A=1,w_B=0$) это сводится к выбору урны с большим $P(A|U_i)$.
Пример: $p_1=0.3,p_2=0.6,q=1/2\Rightarrow P(\text{win})=0.45$. Если можно выбирать и выигрыш за нужный цвет равен 1, берём $U_2$ (0.6>0.3).
3) Сравнение байесовского и частотного подходов при неизвестных $p_1,p_2$.
- Частотный подход:
- Оцениваем вероятности частотами: при $n_i$ наблюдениях и $k_i$ выигрышах ${\hat{p}}_i=k_i/n_i$ (MLE).
- Подставляем в формулы (например, $P(\text{win})\approx q{\hat{p}}_1+(1-q){\hat{p}}_2$) и выбираем урну по максимальной ${\hat{p}}_i$ (или по максимальной оценке ожидаемой выплаты).
- Можно строить доверительные интервалы и проводить тесты; асимптотические частотные гарантии (сходимость, покрытие) при больших выборках.
- Минус: при малых выборках оценки нестабильны, нет учёта априорной информации.
- Байесовский подход:
- Задаём априор для каждой $p_i$, часто Beta$(\alpha ,\beta )$. После наблюдений $k_i$ из $n_i$ получаем апостериор Beta$(\alpha +k_i,\beta +n_i-k_i)$.
- Предиктивная вероятность следующего выигрыша (постерior mean) равна
$$\mathbb{E}[p_i|\text{данные}]=\frac{\alpha +k_i}{\alpha +\beta +n_i},$$ (для несмешанной оценки предсказания можно использовать эту величину).
- Решение: выбирать урну, максимизирующую апостериорное ожидание полезности (интеграл полезности по апостериору).
- Плюсы: учитывает априорные знания, даёт корректное учёт неопределённости (получаем распределение, а не только точечную оценку), устойчив при малых n (шри́нкедж). Минусы: зависимость от априора; вычисления могут быть сложнее.
Короткое руководство по выбору метода:
- Большие данные, отсутствие разумного априорного знания: частотный подход (MLE, интервалы).
- Малые выборки или есть априорная информация/неопределённость, важна корректная учётная неопределённость: байесовский (Beta-приоры для биномиальных моделей — простое и практичное решение).
- Для принятия решения в условиях неопределённости байесовская максимизация ожидаемой полезности даёт более согласованные решения, а частотный подход хорош для долгосрочных частотных свойств и контроля ошибок.