Код: $102348$.
Короткое обоснование: минимальное шестизначное число с различными цифрами строится по принципу «слева — минимально»: $1,0,2,3,4$ и затем наименьшая доступная чётная цифра. Первой такой является $6$, даёт $102346$, но $1+0+2+3+4+6=16\not\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Следующая чётная — $8$, даёт $102348$ и $1+0+2+3+4+8=18\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Значит $102348$ делится на $2$ и $3$, т.е. на $6$, и это наименьшее подходящее число.