Решение.
1) Преобразование с тождеством:
Используем $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Тогда
$$2\sin x\cos x=2\sin x\Rightarrow 2\sin x(\cos x-1)=0.$$ Отсюда либо $\sin x=0$, либо $\cos x=1$.
$\sin x=0$ даёт $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.
$\cos x=1$ даёт $x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}$, но эти значения уже содержатся в $x=\pi k$.
Итого общее решение: $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.
2) Метод деления (с оговоркой):
Если поделить исходное уравнение на $2\sin x$, получим при $\sin x\ne 0$:
$$\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k.$$ При делении мы потеряли случаи $\sin x=0$, поэтому их нужно рассмотреть отдельно ($x=\pi k$). После добавления этих решений получаем тот же результат $x=\pi k$.
Где возможны потерянные корни: при делении на $\sin x$ теряются все корни, для которых $\sin x=0$ (то есть $x=\pi k$).