Общая формула (правило включений-исключений) для трёх событий $A,B,C$:
$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$
Если события взаимно независимы (полная независимость), то все пересечения можно выразить через произведения маргиналов:
$$P(A\cap B)=P(A)P(B),P(A\cap C)=P(A)P(C),P(B\cap C)=P(B)P(C),$$ $$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C).$$ Тогда формула упрощается, эквивалентно:
$$P(A\cup B\cup C)=1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C)).$$
Если же события только попарно независимы (каждая пара независима), это даёт равенства только для парных пересечений, но не гарантирует $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$. В общем случае нужно подставлять в формулу реальное значение тройного пересечения — его нельзя заменить произведением.
Пример, вводящий в заблуждение (парная, но не полная независимость). Пусть $X,Y$ — независимые честные монеты (битовые), и положим $A=\{X=1\},B=\{Y=1\},C=\{X\oplus Y=1\}$ (XOR). Тогда
$$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2},P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{4},$$ но
$$P(A\cap B\cap C)=0\ne P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{8}.$$ По правилу включений истинная вероятность объединения
$$P(A\cup B\cup C)=3\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{1}{4}+0=\frac{3}{4}.$$ Если ошибочно предположить полную независимость и подставить $P(A\cap B\cap C)=\frac{1}{8}$, получим $\frac{7}{8}$ — неправильный результат. Это показывает, что интуиция «парная независимость ⇒ всё независимо» неверна.