Коротко и по существу — набор практических стратегий и когда они эффективны.
1) Быстрая проверка и делимая на линейные множители
- Проверьте общий множитель и рациональные корни по теореме о рациональных корнях. Если найден корень $r$, делите многочлен синтетически и снижайте степень:
$$P(x)=(x-r)Q_3(x).$$ Эффективно, когда есть хотя бы один действительный рациональный (или легко вычислимый) корень.
2) Биквадратичная форма
- Если все нечётные степени отсутствуют, форма $a{x}^4+b{x}^2+c$. Подстановкой $y=x^2$ получаем квадратный трёхчлен:
$$a{y}^2+by+c,y=x^2.$$ - Решите по квадратному, затем верните $x=\pm \sqrt{y}$. Очень эффективно при симметрии по чётности.
3) Палиндромная/антипалиндромная симметрия
- Для многочлена вида $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1$ используйте $y=x+1/x$ или деление на $x^2$, получив квадратное уравнение по $y$. Аналогично для анти-палиндромов. Эффективно при симметричных коэффициентах.
4) Разложение на квадратичные множители (общий случай над $\mathbb{R}$)
- Для вещественных коэффициентов любой многочлен четвёртой степени раскладывается в $\mathbb{R}$ либо в линейные множители и квадратичные множители, либо в произведение двух квадратичных многочленов:
$$P(x)=a(x^2+px+q)(x^2+rx+s).$$ Сравнив коэффициенты, получаем систему
$$\begin{array}{rl}p+r& =\frac{a_3}{a},\\ q+pr+s& =\frac{a_2}{a},\\ ps+qr& =\frac{a_1}{a},\\ qs& =\frac{a_0}{a}.\end{array}$$ Её можно упростить, подставив $r=\frac{a_3}{a}-p$, свести к одному кубическому уравнению для $p$ и решить (анализируем корни; выбираем действительный $p$ дающий действительные $q,s$). Этот метод эффективен, когда нет действительных линейных факторов и хочется факторизации над $\mathbb{R}$.
5) Случай двух пар комплексно-сопряжённых корней
- Если все корни комплексные и приходят парами сопряжённых, то над $\mathbb{R}$ факторизация обязательно имеет вид двух квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:
$$P(x)=(x^2+ux+v)(x^2+wx+z),$$ где дискриминанты $u^2-4v<0$ и $w^2-4z<0$. Подход из п.4 — стандартный и предпочтительный: подставив и решив систему для $p,u,\dots$ получаете эти квадратичные множители напрямую. Альтернативно можно найти корни численно (например, методом Ньютона или из формулы Феррари) и сгруппировать сопряжённые пары в квадратичные множители.
6) Замена переменной и метод Феррари (полное решение)
- Для общего многочлена полезно сначала сделать депрессированную четвертую степень подстановкой
$$x=y-\frac{b}{4a}$$ чтобы убрать кубический член; далее применяется метод Феррари (редукция к резольвентному кубическому уравнению). Это даёт явные формулы для корней и позволяет затем собрать квадраты или произведения квадратиков. Эффективно, когда требуется точное аналитическое решение (обычно громоздко на практике).
7) Разложение по группам и факторизация по частям
- Попытайтесь сгруппировать: например
$$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=x^2(x^2+px+q)+r(x^2+px+q)$$ и вынести общий множитель $(x^2+px+q)$. Полезно при видимой общей структуре.
8) Практические рекомендации (алгоритм выбора метода)
- Сначала проверьте тривиальные случаи: общий множитель, рациональные корни, биквадратичность, симметрию.
- Если нет простых признаков, попытайтесь разложить как $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$ — обычно самый прямой путь к факторизации над $\mathbb{R}$.
- Если нужна точная аналитика корней — используйте депрессию и Феррари.
- Если допускаются численные приближения — найдите корни численно и составьте квадратичные множители из сопряжённых пар.
Кратко: для случаев с двумя парами комплексно-сопряжённых корней наиболее практичен метод разложения на две квадратичные множители через сравнение коэффициентов; Феррари даёт общий аналитический инструмент; специальные подстановки (биквадрат, палиндром) сильно упрощают задачу при соответствующей структуре.