Ошибка: ученик приравнял аргумент логарифма к значению логарифма, т.е. из $\ln (x)=-1$ написал $x=-1$. Это неверно: логарифм — функция, а не тождественный оператор, нельзя просто «снять» $\ln$ без обращения к обратной функции.
Корректное решение:
- применяем обратную функцию $e^{(\cdot )}$: из $\ln (x)=-1$ получаем $x=e^{-1}=\frac{1}{e}$.
- учтём область определения: $\ln (x)$ определён только при $x>0$, и $\frac{1}{e}>0$, значит решение допустимо.
Возможные источники аналогичных ошибок:
- путаница с обратными функциями: считать, что если $f(x)=y$, то $x=y$;
- игнорирование области определения (например, допускать отрицательные $x$ для $\ln$);
- неверное понимание свойств логарифма (например, что логарифм равен своему аргументу);
- путаница между разными основаниями логарифмов или между логарифмом и экспонентой;
- формальные ошибки при «снятии» функции без применения её обратной.
Краткая проверка: $\ln \left(\frac{1}{e}\right)=\ln (e^{-1})=-1$.