Утверждение. Квадратичная функция $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (с $a\ne 0$) имеет наименьшее значение вершины тогда и только тогда, когда $a>0$. Вершина находится в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$ и её значение равно $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}$, где $\Delta =b^2-4ac$.
Доказательство (два способа).
1) Завершение квадрата:
$$a{x}^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+(c-\frac{b^2}{4a}).$$ Если $a>0$, то первый член неотрицателен и достигает минимума $0$ при $x=-\frac{b}{2a}$, поэтому при $a>0$ вершина — минимум и её значение равно $c-\frac{b^2}{4a}$. Если $a<0$, первый член не положителен и вершина — максимум. Если $a=0$, функция линейна и вершины нет.
2) Через производные:
$$f^{\prime }(x)=2ax+b,f^{\prime \prime }(x)=2a.$$ Стационарная точка при $f^{\prime }(x)=0$ даёт $x_0=-\frac{b}{2a}$. Поскольку $f^{\prime \prime }(x_0)=2a$, при $a>0$ это минимум, при $a<0$ — максимум.
Влияние параметров на положение и значение вершины.
- Координата вершины по $x$: $x_0=-\frac{b}{2a}$.
- Увеличение $b$ с фиксированным $a$ сдвигает вершину влево/вправо согласно $\frac{\partial x_0}{\partial b}=-\frac{1}{2a}$.
- Изменение $a$ меняет $x_0$ как $\frac{\partial x_0}{\partial a}=\frac{b}{2a^2}$ (для $a\ne 0$) — при прочих равных рост $|a|$ смещает $x_0$ к нулю по-разному, в зависимости от знака $b$.
- Значение вершины по $y$: $y_0=c-\frac{b^2}{4a}$.
- Изменение $c$ сдвигает вершину по вертикали на ту же величину: $\frac{\partial y_0}{\partial c}=1$.
- Изменение $b$ понижает/повышает $y_0$ как $\frac{\partial y_0}{\partial b}=-\frac{b}{2a}$.
- Изменение $a$ влияет сложнее: $\frac{\partial y_0}{\partial a}=\frac{b^2}{4a^2}$ (при $a\ne 0$); при $a>0$ увеличение $a$ обычно делает параболу уже и повышает минимальное значение из-за уменьшения вклада $-\frac{b^2}{4a}$.
- Геометрически: $a$ задаёт направление ветвей (вверх при $a>0$, вниз при $a<0$) и «расширение» параболы (чем больше $|a|$, тем уже парабола). $b$ сдвигает вершину по оси $x$ и влияет на $y_0$ через квадратный член, $c$ — просто вертикальный сдвиг графика.
Итого: наличие минимума эквивалентно $a>0$; координаты и поведение вершины выражаются формулами выше и зависят от $a,b,c$ как показано.