Рассмотрите задачу по комбинаторике: распределение n неразличимых предметов по k различным ящикам с ограничением на максимальное число в ящике — сформулируйте общую формулу и обсудите изменения при добавлении условий неравенства между заполнениями
Рассмотрите задачу по комбинаторике: распределение n неразличимых предметов по k различным ящикам с ограничением на максимальное число в ящике — сформулируйте общую формулу и обсудите изменения при добавлении условий неравенства между заполнениями
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
число решений в неотрицательных целых xi для x1+⋯+xk=n = (n+k−1k−1). \text{число решений в неотрицательных целых }x_i\text{ для }\;x_1+\dots+x_k=n
\;=\;\binom{n+k-1}{k-1}.
число решений в неотрицательных целых xi для x1 +⋯+xk =n=(k−1n+k−1 ).
2) С индивидуальными верхними ограничениями 0≤xi≤bi0\le x_i\le b_i0≤xi ≤bi . Через включение‑исключение:
#=∑J⊆{1,…,k}(−1)∣J∣( n−∑j∈J(bj+1)+k−1 k−1 ), \#=\sum_{J\subseteq\{1,\dots,k\}}(-1)^{|J|}\binom{\,n-\sum_{j\in J}(b_j+1)+k-1\,}{\,k-1\,},
#=J⊆{1,…,k}∑ (−1)∣J∣(k−1n−∑j∈J (bj +1)+k−1 ), где слагаемые с отрицательным верхним аргументом биномиального коэффициента считаются нулевыми. Это эквивалентно коэффициенту при tnt^ntn в произведении:
#=[tn]∏i=1k(1+t+⋯+tbi)=[tn]∏i=1k1−tbi+11−t. \#=\bigl[t^n\bigr]\prod_{i=1}^k(1+t+\dots+t^{b_i})=\bigl[t^n\bigr]\prod_{i=1}^k\frac{1-t^{b_i+1}}{1-t}.
#=[tn]i=1∏k (1+t+⋯+tbi )=[tn]i=1∏k 1−t1−tbi +1 .
3) Для одинакового максимума bi=bb_i=bbi =b упрощается до
#=∑j=0⌊n/(b+1)⌋(−1)j(kj)(n−j(b+1)+k−1k−1). \#=\sum_{j=0}^{\lfloor n/(b+1)\rfloor}(-1)^j\binom{k}{j}\binom{n-j(b+1)+k-1}{k-1}.
#=j=0∑⌊n/(b+1)⌋ (−1)j(jk )(k−1n−j(b+1)+k−1 ).
4) Условия неравенств между заполнениями.
- Слабые неравенства x1≤x2≤⋯≤xkx_1\le x_2\le\cdots\le x_kx1 ≤x2 ≤⋯≤xk : можно перейти к разностям y1=x1, yi=xi−xi−1 (i≥2)y_1=x_1,\;y_i=x_i-x_{i-1}\ (i\ge2)y1 =x1 ,yi =xi −xi−1 (i≥2) с yi≥0y_i\ge0yi ≥0. Тогда x1+⋯+xkx_1+\dots+x_kx1 +⋯+xk выражается через суммы частичных сумм yyy-ов, и задача сводится к системе линейных неотрицательных уравнений — обычно решается через породящую функцию или динамическое программирование (формула менее компактна, чем для неупорядоченных переменных).
- Строгое возрастание x1<x2<⋯<xkx_1<x_2<\dots<x_kx1 <x2 <⋯<xk (при xix_ixi целых и неотрицательных): положим
z1=x1,zi=xi−xi−1−1 (i≥2),zi≥0. z_1=x_1,\quad z_i=x_i-x_{i-1}-1\ (i\ge2),\quad z_i\ge0.
z1 =x1 ,zi =xi −xi−1 −1 (i≥2),zi ≥0. Тогда сумма даёт сдвиг:
∑i=1kzi=n−(k2), \sum_{i=1}^k z_i = n-\binom{k}{2},
i=1∑k zi =n−(2k ), и при отсутствии верхних границ число решений (если n≥(k2)n\ge\binom{k}{2}n≥(2k )) равно
( n−(k2)+k−1 k−1). \binom{\,n-\binom{k}{2}+k-1\,}{k-1}.
(k−1n−(2k )+k−1 ). При наличии верхних границ xi≤bix_i\le b_ixi ≤bi эти условия превращаются в линейные верхние ограничения на zzz-переменные; считать можно теми же методами: включение‑исключение по нарушенным верхним границам либо по породящим функциям (коэффициент при tn−(k2)t^{n-\binom{k}{2}}tn−(2k ) в ∏i=1k(1+t+⋯+tbi−i+1)\prod_{i=1}^k(1+t+\dots+t^{b_i-i+1})∏i=1k (1+t+⋯+tbi −i+1), где нужно учесть сдвиги и обнулять негативные степени).
5) Практические методы:
- Породящая функция [tn]∏i=1k(1+t+⋯+tbi)\bigl[t^n\bigr]\prod_{i=1}^k(1+t+\dots+t^{b_i})[tn]∏i=1k (1+t+⋯+tbi ) — универсально.
- Включение‑исключение даёт замкнутую форму при верхних границах.
- Динамическое программирование/рекурсия удобно для вычислений при больших k,nk,nk,n.
Если нужно, могу вывести конкретную формулу для заданных bib_ibi или для случая с конкретными неравенствами.