Кратко — все три метода эквивалентны (дают одну и ту же ориентированную площадь), но отличаются удобством применения, числовой точностью и простотой реализации.
Формулы
- Формула Галуа (shoelace):
A=12∣x1y2+x2y3+x3y1−x2y1−x3y2−x1y3∣. A=\tfrac12\Big|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1 - x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3\Big|.
A=21 x1 y2 +x2 y3 +x3 y1 −x2 y1 −x3 y2 −x1 y3 . - Через векторы (через векторное произведение в 2D):
A=12∣AB⃗×AC⃗∣,AB⃗×AC⃗=(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1). A=\tfrac12\big|\vec{AB}\times\vec{AC}\big|,\qquad
\vec{AB}\times\vec{AC}= (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1).
A=21 AB×AC ,AB×AC=(x2 −x1 )(y3 −y1 )−(y2 −y1 )(x3 −x1 ). - Через детерминант:
A=12∣det⁡(x2−x1x3−x1y2−y1y3−y1)∣=12∣det⁡(111x1x2x3y1y2y3)∣. A=\tfrac12\Big|\det\begin{pmatrix}x_2-x_1 & x_3-x_1\\[2pt] y_2-y_1 & y_3-y_1\end{pmatrix}\Big|
=\tfrac12\Big|\det\begin{pmatrix}1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\end{pmatrix}\Big|.
A=21 det(x2 −x1 y2 −y1 x3 −x1 y3 −y1 ) =21 det 1x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 .
Сравнение — преимущества и ограничения
- Простота и применение
- Галуа: очень удобна для явных координат вершин и для многоугольников (обобщается на shoelace). Непосредственно даёт ориентированную площадь.
- Векторный метод: удобен, если у вас уже есть векторы AB и AC; хорошо сочетается с другими векторными операциями (углы, проекции).
- Детерминант: естественен в линейной алгебре, легко обобщается на объёмы в больших размерностях.
- Числовая точность и целочисленные вычисления
- При целых координатах Галуа/детерминант дают точный целочисленный результат до деления на 2 (можно работать в целых числах, избегая потерь). Это удобно для проверок вырожденности (площадь = 0).
- При вещественных координатах все методы эквивалентны по численной стабильности — ошибки одинакового порядка. Для почти коллинеарных точек возможны сильные ошибки из-за вычитания близких чисел; в критичных задачах нужен более высокий разряд или адаптивная арифметика.
- Сложность и реализация
- Все методы требуют небольшого постоянного числа операций (порядка 4–6 умножений и нескольких сложений). Различия по времени пренебрежимы.
- Формула Галуа чаще короче по коду для вершин; векторный метод короче, если векторы уже есть; детерминант удобен при использовании библиотек линейной алгебры.
- Ориентация
- Все дают ориентированную величину (знак указывает порядок обхода). Нужна абсолютная величина для обычной площади.
- Особые замечания
- Для очень больших координат возможен переполнение при целочисленной арифметике — используйте 64‑бит или BigInteger.
- Для геометрических библиотеках иногда применяют точную/рациональную арифметику или алгоритмы с предсказанием знака детерминанта (robust predicates) для корректной обработки почти вырожденных случаев.
- В 3D удобно использовать векторный (внешний) произведение в 3D; в 2D это эквивалент детерминанта 2×2.
Рекомендации
- Если данные — целые координаты и нужна точность/проверка вырожденности: использовать Галуа/детерминант с целой арифметикой.
- Если у вас векторы или вы работаете с векторной геометрией: использовать половину модуля векторного произведения.
- Для многогранников/многоугольников — shoelace (обобщение Галуа).
- При близкой к коллинеарности или при больших числах — повысить точность (64‑бит, BigDecimal/BigInt или специальные робастные предикаты).