Ошибка в доказательстве — упущены нужные условия теоремы о среднем значении: требуется, чтобы функция была непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$ (дифференцируемость в концах отрезка не нужна). Для вывода используется теорема Ролля.
Теорема Ролля: если $h$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $h(a)=h(b)$, то существует $c\in (a,b)$ такое, что $h^{\prime }(c)=0$.
Верное утверждение (теорема Лагранжа о среднем значении): если $f$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, то существует $c\in (a,b)$ такое, что
$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).$$
Краткое доказательство (через Ролля): положим $k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ и $g(x)=f(x)-kx$. Тогда $g$ непрерывна на $[a,b]$, дифференцируема на $(a,b)$ и $g(a)=g(b)$, поэтому по Роллю существует $c\in (a,b)$ с $g^{\prime }(c)=0$. Но $g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-k$, откуда $f^{\prime }(c)=k$, что и даёт нужное равенство.