Кратко: уравнение
$$x^3+y^3+z^3=3$$ имеет тривиальное целое решение $x=y=z=1$ и как минимум одно нетривиальное малое решение $x=4,y=4,z=-5$ (и их перестановки). Общая задача «представить данное целое как сумму трёх кубов» — часть ставшей классической проблемы «сумма трёх кубов для фиксированного правого конца $k$».
Основные замечания и трудности
- Модульные ограничения: кубы по модулю $9$ дают остатки только $0,\pm 1$. Потому числа $k\equiv \pm 4(\mathrm{mod}9)$ не представимы. Для $k=3$ модульного препятствия нет (т.к. $3\equiv 1+1+1(\mathrm{mod}9)$).
- Поверхность $X:x^3+y^3+z^3=3$ — кубическая поверхность; имея рациональную точку, получают параметризацию рациональных точек, поэтому рациональных решений много. Но переход от рациональных к целым решениям — значительно сложнее (интегральные точки не подчиняются простому теорему о плотности рациональных точек).
- Открытый вопрос: предполагают (конъектура Хита–Брауна), что для всех $k\not\equiv \pm 4(\mathrm{mod}9)$ имеется бесконечно много целых решений. Для $k=3$ это ожидается, но полного доказательства нет.
Подходы к поиску и анализу решений
1. Прямая факторизация по одному параметру (стандартный алгоритм поиска).
- Зафиксировать $z$. Тогда нужно решить
$$x^3+y^3=3-z^3.$$ Используем разложение
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$ Пусть $u=x+y$, $v=x^2-xy+y^2$. Тогда $uv=3-z^3$ и $x,y$ — корни квадратичного уравнения
$$t^2-ut+v=0,$$ т.е.
$$x,y=\frac{u\pm \sqrt{u^2-4v}}{2}.$$ Практически: для каждого делителя $u$ числа $m:=3-z^3$ вычисляют $v=m/u$ и проверяют, что дискриминант $\Delta =u^2-4v$ — совершенный квадрат и даёт целые корни (учёт чётности).
- Плюсы: редуцирует задачу к перебору делителей; хорош при небольших $|z|$ или при $m$ с небольшими простыми делителями.
- Минусы: при больших $|z|$ число $m$ большое, его факторизация дорогая; делителей много; дискриминантовые проверки часто не дают.
2. Сведение к эллиптическим кривым.
- Зафиксировав одно из чисел или положив $x+y=u$ и сделав подстановки, часто получают семейства эллиптических кривых; анализ ранга и точек кривой даёт информацию о целых/рациональных решениях. Методы теории эллиптических кривых (поиск рациональных точек, вычисление ранга, методы Чабота–Мерсона и др.) применимы, но не дают общей классификации всех целых точек.
3. Поиск с использованием решёточного просеивания (lattice sieving) и хеширования.
- При больших поисках (как в работах Буктера и др. для других $k$) эффективны методы просеивания по решётке: ищут сочетания кубов, дающие заданную сумму, используя сокращение пространства поиска, кэширование, модульные фильтры, обработку по блокам и распараллеливание. Часто применяются методы, аналогичные тем, что используются для факторизации/поиска зависимостей в больших числах.
- Такие методы позволили найти очень большие решения для некоторых чисел $k$, но требуют большой вычислительной мощности и продвинутых оптимизаций.
4. Параметризации рациональных решений.
- Кубические поверхности иногда допускают рациональную параметризацию, дающую бесконечно много рациональных точек. Однако обеспечить целочисленность параметров — отдельная задача (не всегда удаётся получить бесконечно много целых решений из рациональной параметризации).
Практические советы по поиску и проверке
- Проверка найденного тройства сводится к проверке равенства кубов в большой арифметике (мульти-прецизионные библиотеки — GMP, PARI/GP и т.п.). Это быстро и надёжно.
- Для систематического поиска: итерируйте по $z$ в разумном диапазоне; факторизуйте $m=3-z^3$ (или частично факторизуйте), перечисляйте делители $u$, проверяйте $\Delta =u^2-4m/u$ на совершенный квадрат и чётность корней.
- Модульные фильтры: использовать остатки по небольшим модулям (например, модуль $9$, модуль $7,13,19$ и т.д.) чтобы отсеять невозможные классы и сократить пространство перебора.
- При больших поисках применяют распределённые/распараллеленные вычисления, эффективные реализации операции возведения в куб и проверок квадрата, а также оптимизированные алгоритмы факторизации (ECM) для делителей $m$.
Известные частично решённые случаи и факты
- Невозможность для $k\equiv \pm 4(\mathrm{mod}9)$.
- Для многих конкретных $k$ (включая некоторые трудноязыковые случаи) были найдены большие целые решения с помощью продвинутого поиска; известны работы по $k=33,42$ (Booker, Sutherland и др.) — это подчёркивает, что эффектные решения иногда очень велики.
- Для $k=3$ известных малых целых решений минимум два «семейства» в смысле конкретных троек: тривиальная $(1,1,1)$ и нетривиальная $(4,4,-5)$ (и их перестановки). Общего полного описания всех целых решений нет; ожидают бесконечность решений, но это не доказано.
Коротко по выводам
- Методы: модульные ограничения, факторизация $m=3-z^3$ + проверка дискриминанта, алгебрические методы через эллиптические кривые и параметризации, и масштабные вычислительные просеивающие алгоритмы.
- Трудности: большие минимальные решения возможны; интегральные точки труднее рациональных; факторизация больших чисел и перебор делителей — узкие места.
- Текущее состояние: есть некоторые маленькие целые решения (включая $(1,1,1)$ и $(4,4,-5)$ с перестановками). Общая теорема обобществляющая бесконечность решений для $k=3$ неизвестна (существует гипотеза о бесконечности для всех допустимых $k$, но она не доказана).
Если нужно, могу:
- показать пошагово алгоритм перебора по фиксированному $z$ с примером кода/псевдокода;
- перечислить все найденные решения в некотором диапазоне |x|,|y|,|z|≤N (для заданного N).