Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=-3x^3+x+3 на отрезке [0;1] нужно:

Найти значения функции на концах отрезка: f(0) и f(1).
f(0) = 3
f(1) = -3 + 1 + 3 = 1

Найти критические точки (места, где производная равна нулю или не существует).
f'(x) = -9x^2 + 1
-9x^2 + 1 = 0
9x^2 = 1
x^2 = 1/9
x = ±1/3

Вычислить значения функции в найденных критических точках.
f(1/3) = -3(1/3)^3 + 1/3 + 3 = -1/9 + 1/3 + 3 = 28/9
f(-1/3) = -3(-1/3)^3 - 1/3 + 3 = -1/9 - 1/3 + 3 = 28/9

Сравнить значения функции на концах отрезка, в критических точках и в вершинах параболы.
Минимум: f(1/3) = 28/9
Максимум: f(0) = 3

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [0;1] равно 28/9, а наибольшее значение равно 3.