Для исследования сходимости данного ряда используем признак Даламбера.

Рассмотрим отношение соседних членов ряда:
a[n] = (3^n (n+2)!) / n^5
a[n+1] = (3^(n+1) (n+3)!) / (n+1)^5

Посчитаем отношение a[n+1] / a[n]:
lim (n->∞) (a[n+1] / a[n]) = lim (n->∞) (3^(n+1) (n+3)! / (n+1)^5) / (3^n (n+2)!) / n^5
= lim (n->∞) 3 (n+3) (n+2) n^5 / (n+1)^5
= lim (n->∞) 3 (1 + 3/n) * (1 + 2/n) = 3

Так как данное предел равен 3 и больше единицы, то ряд расходится (расходится ряд формула корня, так как р и p=3 больше единицы).

Таким образом, ряд (3^n * (n+2)!)/n^5 расходится.