Рассмотрите последовательность a_n, заданную рекурсией a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1/n. Обсудите сходимость/расходимость ряда sum_{n=1}^\infty a_n/n^p в зависимости от параметра p > 0
Рассмотрите последовательность a_n, заданную рекурсией a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 1/n. Обсудите сходимость/расходимость ряда sum_{n=1}^\infty a_n/n^p в зависимости от параметра p > 0
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
an=1+∑k=1n−11k=Hn−1+1=Hn+1−1n, a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=H_{n-1}+1=H_n+1-\frac{1}{n},
an =1+k=1∑n−1 k1 =Hn−1 +1=Hn +1−n1 , где HnH_nHn — гармонический ряд. Из асимптотики Hn=lnn+γ+o(1)H_n=\ln n+\gamma+o(1)Hn =lnn+γ+o(1) следует
an=lnn+(γ+1)+o(1),иlimn→∞anlnn=1. a_n=\ln n+(\gamma+1)+o(1),
\qquad\text{и}\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\ln n}=1.
an =lnn+(γ+1)+o(1),иn→∞lim lnnan =1.
По предельному сравнению поведение ряда ∑n=1∞annp\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^p}∑n=1∞ npan совпадает с рядом ∑n=1∞lnnnp\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^p}∑n=1∞ nplnn . Оценка этого ряда:
- для p=1p=1p=1: ∑lnnn\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n}∑nlnn расходится (например, ∫Tlnxx dx=12(lnT)2→∞\int^T\frac{\ln x}{x}\,dx=\tfrac12(\ln T)^2\to\infty∫Txlnx dx=21 (lnT)2→∞);
- для p>1p>1p>1: ∑lnnnp\displaystyle\sum\frac{\ln n}{n^p}∑nplnn сходится (интегр. признак или интегрирование по частям: при q=p−1>0q=p-1>0q=p−1>0 ∫∞lnxx1+qdx\int^\infty\frac{\ln x}{x^{1+q}}dx∫∞x1+qlnx dx конечен);
- для 0<p<10<p<10<p<1: так как lnn→∞\ln n\to\inftylnn→∞, терм lnnnp\frac{\ln n}{n^p}nplnn убывает слишком медленно, ряд расходится (или по сравнению с n−p/2n^{-p/2}n−p/2 на бесконечных подпоследовательностях).
Итого: ряд ∑n=1∞annp\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^p}∑n=1∞ npan сходится тогда и только тогда, когда p>1p>1p>1; для p≤1p\le 1p≤1 расходится.