Способы упрощения и эквивалентность:
1) Факторизация и сокращение:
$x^2-1=(x-1)(x+1)$, поэтому при $x\ne 1$ $$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$ Эквивалентность с исходным выражением: для всех $x$ таких, что $x\ne 1$. При $x=1$ исходное дробь не определена.
2) Деление многочленов:
При делении $x^2-1$ на $x-1$ получаем частное $x+1$ и остаток $0$, то есть формально
$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$$ как рациональная дробь после сокращения; как числовые функции на множестве действительных (или комплексных) чисел это равенство выполняется при $x\ne 1$.
3) Точка $x=1$ — устранимая разрывность:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2.$$ Если определить значение функции в $x=1$ равным $2$, то полученное продолжение совпадает с многочленом $x+1$ на всей числовой оси.
Коротко: упрощение даёт $x+1$, но исходная дробь эквивалентна $x+1$ только на $x\ne 1$; при $x=1$ исходное выражение не определено (предел равен $2$).