Рассмотрим ряд $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$.
1) Интегральный признак. Для $x\ge 2$ положительная убывающая функция $f(x)=\frac{1}{x(\ln x{)}^p}$. Сделав замену $u=\ln x$ (тогда $dx/x=du$) получим
$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^p}={\int }_{\ln 2}^{\infty }{u}^{-p}du.$$ Последний интеграл сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Следовательно ряд сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.
2) Альтернативное (и более наглядное) доказательство через сжатие Коши (Cauchy condensation). Для монотонно убывающей $a_n$ ряд $\sum a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится $\sum 2^k{a}_{2^k}$. Для $a_n=\frac{1}{n(\ln n{)}^p}$ $$2^k{a}_{2^k}=\frac{2^k}{2^k(\ln 2^k{)}^p}=\frac{1}{(\ln 2{)}^p}\cdot \frac{1}{k^p},$$ то есть сводится к $p$-ряду; он сходится только при $p>1$.
3) Тонкости при $p=1$. При $p=1$ ряд
$$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$$ расходится, но очень медленно. Из интегрального сравнения
$$\sum _{k=2}^N\frac{1}{k\ln k}={\int }_2^N\frac{dx}{x\ln x}+O(1)=\ln \ln N+O(1),$$ поэтому частичные суммы растут как $\ln \ln N$ и стремятся к бесконечности очень медленно. Это и есть «пограничный» случай: при любом $p>1$ добавочный фактор $(\ln n{)}^p$ достаточно силён, чтобы обеспечить сходимость; при $p=1$ — нет.