Общий подход и доказательство.
1) Для двух бросков. Пусть $X,Y$ — независимые равномерные на $\{1,\dots ,6\}$. Тогда вероятность суммы $S=X+Y$ равна свертке:
$$P(S=s)=\sum _{x=1}^{6}P(X=x)P(Y=s-x)=\frac{1}{36}\#\{(x,y)\in \{1,\dots ,6{\}}^2:x+y=s\}.$$ Число упорядоченных пар с суммой $s$ равно
$$1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1\text{при}s=2,3,\dots ,12.$$ Простые суммы в диапазоне $2\dots 12$ — это $2,3,5,7,11$. Соответствующие числа исходов $1,2,4,6,2$, итого $1+2+4+6+2=15$. Следовательно
$$P(S\text{простое})=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.$$
2) Наиболее общий способ (k бросков). Пусть $X_1,\dots ,X_k$ независимы, равномерны на $\{1,\dots ,6\}$, и $S_k={\sum }_{i=1}^k{X}_i$. Тогда
$$P(S_k=s)=\frac{N_k(s)}{6^k},$$ где $N_k(s)$ — число решений в целых для
$$x_1+\cdots +x_k=s,1\le x_i\le 6.$$ Его можно выразить формулой включений-исключений:
$$N_k(s)=\sum _{j=0}^{\lfloor (s-k)/6\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{s-6j-1}{k-1}).$$ Тогда для любого множества сумм $A$ (например, множества простых чисел) имеем
$$P(S_k\in A)=\sum _s{1}_A(s)\frac{N_k(s)}{6^k}.$$ Альтернативно, можно взять производящую функцию
$$G_k(t)=(\frac{t+\cdots +t^6}{6}{)}^k,$$ и извлекать коэффициенты $[t^s]G_k(t)=P(S_k=s)$.
3) Асимптотика при больших $k$. Пусть $\mu =E[X_i]=3.5$, ${\sigma }^2=\mathrm{Var}(X_i)=35/12$. По локальной центральной предельной теореме
$$P(S_k=s)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi k{\sigma }^2}}\exp (-\frac{(s-k\mu {)}^2}{2k{\sigma }^2}).$$ Используя теорему о распределении простых (плотность простых около $x$ примерно $1/\ln x$), можно аппроксимировать
$$P(S_k\text{простое})\approx {\int }_k^{6k}\frac{1}{\ln x}\frac{1}{\sqrt{2\pi k{\sigma }^2}}\exp (-\frac{(x-k\mu {)}^2}{2k{\sigma }^2})dx.$$ При больших $k$ подинтегральный множитель $1/\ln x$ меняется медленно и примерно равен $1/\ln (3.5k)$, поэтому интеграл даёт
$$P(S_k\text{простое})\sim \frac{1}{\ln (3.5k)}\text{(при}k\to \infty \text{)},$$ то есть вероятность убывает порядка $1/\ln k$.
Краткое резюме:
- Для двух бросков формула свертки даёт $P=15/36=5/12$.
- Для $k$ бросков общая формула через число решений $N_k(s)$ или через производящую функцию $(\frac{t+\cdots +t^6}{6}{)}^k$.
- Для больших $k$ по локальной ЦПТ и теореме о простых $P(S_k\text{простое})$ примерно равно $1/\ln (3.5k)$.