Рассмотрим отображение $f(x)=\cos x$ и последовательность $x_{n+1}=f(x_n)$.
1) Образ и область. Для любого $x\in \mathbb{R}$ имеем $x_1=\cos x\in [\cos 1,1]\subset [-1,1]$. Следовательно начиная с шага $1$ все члены лежат в замкнутом отрезке $[-1,1]$.
2) Сжимаемость на $[-1,1]$. По теореме о среднем значении для любых $x,y\in [-1,1]$ существует $\xi$ между ними с
$$|\cos x-\cos y|=|\sin \xi ||x-y|\le \underset{t\in [-1,1]}{\max }|\sin t||x-y|=\sin 1|x-y|.$$ Так как $\sin 1<1$ (численно $\sin 1\approx 0.84147$), то $f$ является сжимающим отображением на $[-1,1]$ с коэффициентом $L=\sin 1$.
3) Применение теоремы о сжимающем отображении. Отрезок $[-1,1]$ полон по обычной метрике, $f([-1,1])\subset [-1,1]$ и $f$ является сокращением, значит по теореме Банаха существует единственная неподвижная точка $\alpha \in [-1,1]$ такая, что
$$\alpha =\cos \alpha .$$ Кроме того итерационная последовательность для любого начального значения в $[-1,1]$ сходится к этой неподвижной точке с геометрической скоростью:
$$|x_{n+1}-\alpha |\le L|x_n-\alpha |\Rightarrow |x_n-\alpha |\le L^{n-1}|x_1-\alpha |(n\ge 1).$$ Поскольку любой $x_0\in \mathbb{R}$ даёт $x_1\in [-1,1]$, заявленное сходится для любого $x_0\in \mathbb{R}$.
4) Численное значение предела. Уравнение $\alpha =\cos \alpha$ имеет единственное решение $\alpha \approx 0.7390851332151607$ (в кавычках: $\alpha \approx 0.739085$).
Итого: для любого $x_0\in \mathbb{R}$ последовательность $x_{n+1}=\cos x_n$ сходится к единственному пределу $\alpha$, решению $\alpha =\cos \alpha$; сходимость геометрическая с коэффициентом $L=\sin 1(<1)$.