Короткий ответ по существу.
1) Почему «взятая» аппроксимация не всегда строгая. Если вы просто пишете
$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$ и из этого сразу делаете вывод
$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\to 1$,
то формально нужно обосновать символ $o(x^3)$ (или остаточный член Тейлора). Обоснование такой разложения обычно даётся Тейлоровой формулой с остатком или суммированием степенного ряда для $\sin$. Но эти теоремы требуют предварительного знания дифференцируемости $\sin$ в окрестности $0$ или определения $\sin$ через степенной ряд. Если же $\sin$ введена геометрически (через окружность) и вы хотите доказать ${\lim }_{x\to 0}\sin x/x$, то доказательство дифференцируемости $\sin$ в $0$ обычно уже использует этот предел — получится круговая логика. Вывод: разложение корректно и даёт предел, только если его остаток обоснован независимым способом (например, $\sin$ задана степенным рядом или Тейлоровская теорема доказана без использования нужного предела).
2) Альтернативные строго корректные доказательства (коротко):
- Геометрическое (классическое, без круговой логики). Для $0<x<\frac{\pi }{2}$ в радианах
$\sin x<x<\tan x$.
Делим на $x\sin x>0$: $1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$. Берём обратные величины:
$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$. Так как ${\lim }_{x\to 0}\cos x=1$, по лемме о сжатой последовательности
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$.
(Этот доказательный путь использует только геометрию окружности и непрерывность косинуса.)
- Через степенной ряд (если $\sin$ определена как ряд). Из ряда
$\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\dots$ следует непосредственно $\frac{\sin x}{x}=1+O(x^2)\to 1$.
- Через правило Лопиталя (если заранее установлена дифференцируемость $\sin$ и $\cos$):
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$.
(Здесь требуется, чтобы дифференцируемость $\sin$ была доказана не с опорой на искомый предел.)
3) Вывод. Использовать разложение $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ допустимо и удобно только если остаток контролируется независимо (например, $\sin$ задана степенным рядом или Тейлором с доказанным остатком). В общем (при геометрическом введении $\sin$) наиболее строг и прост — геометрическое неравенство и критерий сжатия.