Утверждение в общем виде неверно.
Контрпример. Пусть $f(x)=e^x$. Тогда $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ для всех $x$, но $f$ не имеет глобального минимума (инфимум ${\inf }_{x\in \mathbb{R}}f(x)=0$ не достигается).
Правильная часть и пояснение. Условие $f^{\prime \prime }(x)>0$ для всех $x$ влечёт строгую выпуклость функции $f$. Отсюда:
- производная $f^{\prime }$ строго возрастает (так как $f^{\prime \prime }>0$);
- следовательно $f^{\prime }$ может иметь не более одного нуля. Если такой ноль $x_0$ существует (то есть есть стационарная точка $f^{\prime }(x_0)=0$), то для $x<x_0$ имеем $f^{\prime }(x)<0$, для $x>x_0$ — $f^{\prime }(x)>0$, значит $f$ убывает слева от $x_0$ и возрастает справа, и $x_0$ — единственный глобальный минимум.
Условие существования глобального минимума нужно добавлять отдельно. Типичные достаточные условия: наличие стационарной точки или коэрцитивность, например ${\lim }_{|x|\to \infty }f(x)=+\infty$. Пример, где минимум есть: $f(x)=x^2$ ($f^{\prime \prime }(x)=2>0$), глобальный и единственный минимум при $x=0$.