Краткая позиция: при аксиомах ZF (без AC) множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ не равномощны. Доказательство и роль AC ниже.
Стратегия доказательства (кратко, формально выполнима в ZF):
1. $\mathbb{Q}$ счётно: существует явная биекция $\mathbb{N}\leftrightarrow \mathbb{Q}$ (каноническое перечисление дробей). Значит $|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$. Это не требует AC.
2. $\mathbb{R}$ несчётно: классический канторовский диагональный аргумент показывает, что нет биекции $\mathbb{N}\to \mathbb{R}$. Следовательно $|\mathbb{R}|>{\aleph }_0$. Это тоже доказывается в ZF.
3. Отсюда $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ несчётно: если бы $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ было счётно, то $\mathbb{R}=(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cup \mathbb{Q}$ было бы конечным (в данном случае конечное объединение двух счётных) — значит счётно, что противоречит пункту 2. (Факт о том, что конечное объединение счётных множеств счётно, доказывается в ZF.)
Следствие: нет биекции $\mathbb{Q}\cong \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$.
Дополнительный комментарий (о мощности иррационалов и роль AC):
- В ZF можно ещё показать, что $|\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}|=|\mathbb{R}|$ (т.е. удаление счётного множества из континуума не меняет мощность): даётся конструкцией двух инъекций (включение $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\hookrightarrow \mathbb{R}$ и явная инъекция $\mathbb{R}\hookrightarrow \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, например, с использованием явной счётной последовательности различных иррационалов и сдвига по ней), а затем применением теоремы Шрёдера–Бернштейна — всё это доказуемо в ZF. Поэтому $|\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}|=2^{{\aleph }_0}$ и $2^{{\aleph }_0}>{\aleph }_0$ в ZF.
- Роль аксиомы выбора: для утверждения «$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ не равномощны» AC не нужна. AC влияет на более тонкие утверждения о кардинальных числах в общем случае (возможность хорошоупорядочить произвольные множества, сравнивать произвольные кардиналы, утверждения вроде «каждое бесконечное множество содержит счётное подмножество» эквивалентны некоторым слабым формам выбора и не выводимы в ZF), но здесь все шаги конструктивны и не требуют выбора.
Итог: в ZF $|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$, $|\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}|=2^{{\aleph }_0}>{\aleph }_0$, значит множества не равномощны; аксиома выбора для этого результата не нужна.