Выбор теоремы: удобнее всего применить теорему о вычетах (или частный случай — формулу Коши). Функция $f(z)=1/z$ аналитична всюду, кроме простого полюса в $z=0$ с вычетом $\mathrm{Res}(1/z,0)=1$. По теореме о вычетах
$${\oint }_C\frac{1}{z}dz=2\pi i\sum _{\text{вычеты внутри}C}\mathrm{Res}=2\pi i\cdot 1,$$ если $0$ лежит внутри кривой $C$.
Прямой расчёт на единичной окружности (центр в $0$, ориентирована против часовой стрелки): при $z=e^{it}$, $dz=i{e}^{it}dt$,
$${\oint }_C\frac{1}{z}dz={\int }_0^{2\pi }\frac{1}{e^{it}}i{e}^{it}dt=i{\int }_0^{2\pi }dt=2\pi i.$$
Как меняется ответ при смещении центра: для окружности радиуса $1$ с центром в $a$ - если $|a|<1$, то $0$ внутри, и ${\oint }_C\frac{1}{z}dz=2\pi i$;
- если $|a|>1$, то $0$ снаружи, и ${\oint }_C\frac{1}{z}dz=0$;
- если $|a|=1$, то контур проходит через сингулярность $z=0$ и интеграл в обычном смысле не определён.
Более общо, для произвольно ориентированного замкнутого $C$ $${\oint }_C\frac{1}{z}dz=2\pi in(C,0),$$ где $n(C,0)$ — индекс (оборотов, ориентированный) кривой вокруг нуля.