- Ряд и многочлен:
$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$ при $-1<x\le 1$. Третьего порядка (Maclaurin)
$P_3(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$. Погрешность $R_3(x)=\ln (1+x)-P_3(x)$.
- Форма Лагранжа: для некоторого $\xi$ между $0$ и $x$ $$R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{x}^4,f^{(4)}(t)=-\frac{6}{(1+t{)}^4},$$ откуда
$$R_3(x)=-\frac{x^4}{4(1+\xi {)}^4},|R_3(x)|=\frac{|x{|}^4}{4(1+\xi {)}^4}.$$
- Практичные оценки:
- Для $0\le x\le 1$: $1+\xi \ge 1\Rightarrow |R_3(x)|\le \frac{x^4}{4}$. (То же даёт признак знакоперемённого ряда: погрешность не превосходит модуля следующего члена.)
Пример: для $x=\frac{1}{2}$ получаем $|R_3|\le \frac{(1/2{)}^4}{4}=\frac{1}{64}=0.015625$.
- Для $-1<x<0$: так как $1+\xi \ge 1+x$ (и $1+x\in (0,1)$), имеем более жёсткую оценку
$$|R_3(x)|\le \frac{|x{|}^4}{4(1+x{)}^4}.$$ Пример: для $x=-\frac{1}{2}$ получается $|R_3|\le 0.25$.
- Заметьте: при $x\to -1^{+}$ оценка растёт неограниченно — приближение рядом в этом виде плохо близко к $-1$.
- Практические рекомендации:
1. Для положительных $x$ (особенно малого) пользуйтесь оценкой $|R_3|\le x^4/4$; если нужна точность $\epsilon$, требуйте $x^4/4<\epsilon$ или повышайте порядок.
2. Для $x$ близких к $-1$ не используйте разложение в нуле — вместо этого:
- делайте разложение вблизи другой точки $a$ (например $a$ такое, что $1+a$ далеко от нуля) и вычисляйте полином в точке $x$ (т.н. развёртка в $a$); или
- применяйте Padé-аппроксимации или стандартные численные функции логарифма.
3. Если нужен строгий численный верхний предел ошибки для данного $x$, используйте формулу Лагранжа и подставьте нижнюю границу для $(1+\xi {)}^4$ (для $x\ge 0$ — $1$, для $x<0$ — $(1+x{)}^4$).