Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: cos2a = cos^2(a) - sin^2(a)

Подставляем это выражение в левую часть тождества:

1 / (cos^2(a) - sin^2(a)) - 1

Для удобства приведем дробь к общему знаменателю:

(cos^2(a) - sin^2(a)) / (cos^2(a) - sin^2(a)) - 1

= (cos^2(a) - sin^2(a) - (cos^2(a) - sin^2(a))) / (cos^2(a) - sin^2(a))

= sin^2(a) / (cos^2(a) - sin^2(a))

= sin^2(a) / cos^2(a) / (1 - sin^2(a) / cos^2(a))

Так как tg(a) = sin(a) / cos(a), имеем:

(sin^2(a) / cos^2(a)) / (1 - sin^2(a) / cos^2(a))

= tg^2(a) / (1 - tg^2(a))

Известно, что 1 + tg^2(a) = 1 / cos^2(a), тогда 1 - tg^2(a) = cos^2(a)

Таким образом, получаем:

tg^2(a) / (1 - tg^2(a)) = tg^2(a) / cos^2(a) = tg^2(a)

Таким образом, исходное тождество доказано.