База индукции: При ( n = 1 )
[
2^2 = \frac{41(21-1)(2*1+1)}{3} = 4
]
Что верно.

Индукционное предположение: предположим, что равенство верно для ( n = k ), т.е.
[
2^2 + 6^2 +...+ (4k-2)^2=\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}
]

Доказать, что равенство верно для n( n = k + 1 ):
[
2^2 + 6^2 +...+ (4k-2)^2 + (4(k+1)-2)^2 = \frac{4(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3}
]

[
= 4k(2k-1)(2k+1)/3 + (4k+2)^2
]
[
= 4k(2k-1)(2k+1)/3 + 16k^2 + 16k + 4
]
[
= 4/3 k(2k-1)(2k+1) + 48/3 k

12/3
]
[
= 4/3 k(2k-1)(2k+1) + 48/3 k
= 4/3 k(2k+1)(2k+3)
]
[
= \frac{4(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3}
]

Что надо было доказать.