Для решения данного дифференциального уравнения сначала приведем его к линейному виду с помощью метода Лагранжа. Для этого умножим обе части уравнения на x:

[x \cdot y' + 2y = x^4]

Теперь введем вспомогательную функцию z(x), равную произведению y на x:

[z=x \cdot y]

Тогда y можно выразить как:

[y = \frac{z}{x}]

Теперь продифференцируем выражение для z:

[y = \frac{z}{x}]

[y' = \frac{dz}{dx}]

Подставим полученные значения y и y' в преобразованное уравнение:

[x \cdot \frac{dz}{dx} + 2 \cdot \frac{z}{x} = x^4]

Упростим уравнение, умножив обе части на x:

[x \cdot \frac{dz}{dx} + 2z = x^5]

Теперь получили линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить, например, с помощью метода вариации постоянной.

Решив данное уравнение, найдем функцию z(x). После этого найдем y(x) снова, подставив полученное z(x) в формулу для y.

Затем подставим начальное условие y(1) = -5/6, чтобы найти константу.