Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения cos2a-|cos a| мы можем исследовать функцию f(a) = cos2a-|cos a|.

Найдем точки экстремума, приравняв производную функции к нулю:

f'(a) = -2sin2a + sin a * |cos a| / cos a) = 0

2sin2a = sin a * |cos a| / cos a

sin 2a = 1/2 sin a |cos a| / cos a = 1/2 sin a (cos a / |cos a|) = 1/2 sin a sign(cos a)

Таким образом, мы получили, что sin 2a = 1/2 sin a sign(cos a). Поскольку sin 2a = 2sin a * cos a, то имеем:

2sin a cos a = 1/2 sin a * sign(cos a)

cos a = 1/2 * sign(cos a)

Это равенство выполняется, когда cos a = 1/2 или cos a = 0.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

а) При cos a = 1/2 мы имеем f(a) = cos2(acos 1/2) - |cos(acos 1/2)| = (1/2)2 - |1/2| = 1/4 - 1/2 = -1/4

б) При cos a = 0 мы имеем f(a) = cos2(acos 0) - |cos(acos 0)| = 0 - |1| = -1

Таким образом, наибольшее значение выражения cos2a-|cos a| равно -1/4, а наименьшее значение равно -1.