Для нахождения производной функции y=x(arctgx+arcctgx) необходимо применить правило дифференцирования произведения функций.

Сначала найдем производную суммы arctgx и arcctgx:
(d/arctgx) = 1 / (1+x^2)
(d/arcctgx) = -1 / (1+x^2)

Теперь найдем производную функции y=x(arctgx+arcctgx):

dy/dx = x(d/arctgx + d/arcctgx) + (arctgx + arcctgx)

dy/dx = x(1 / (1+x^2) - 1 / (1+x^2)) + (arctgx + arcctgx)

dy/dx = x(0) + (arctgx + arcctgx)

dy/dx = arctgx + arcctgx

Таким образом, производная функции y=x(arctgx+arcctgx) равна arctgx + arcctgx.