Для исследования функции y = x^3 - 3x на экстремум, нужно найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

y' = 3x^2 - 3

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точку экстремума:

3x^2 - 3 = 0
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = ±1

Таким образом, точками экстремума функции y = x^3 - 3x являются x = 1 и x = -1.

Следующим шагом будет исследование знаков производной в окрестностях найденных точек экстремума. Для этого можно выбрать тестовые точки справа и слева от найденных x = 1 и x = -1.

При x = 0: y' = 3(0)^2 - 3 = -3 (отрицательная производная)

Следовательно, в окрестности x = 1 производная отрицательна, что означает, что функция убывает и имеет локальный максимум в точке x = 1.

При x = -2: y' = 3(-2)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 (положительная производная)

Следовательно, в окрестности x = -1 производная положительна, что означает, что функция возрастает и имеет локальный минимум в точке x = -1.

Таким образом, функция y = x^3 - 3x имеет локальный максимум в точке x = 1 и локальный минимум в точке x = -1.