Для нахождения производной функции $y=\arcsin(\ln(2x))$ используем цепное правило:

Обозначим $u = \ln(2x)$ и $v = \arcsin(u)$. Тогда $y = v$.Найдем производную $u$ по $x$:

$u' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.

Найдем производную $v$ по $u$:

$v' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Найдем итоговую производную $y$ по $x$:

$y' = v' \cdot u' = \frac{1}{\sqrt{1-\ln^2(2x)}} \cdot \frac{1}{x}$.

Таким образом, производная функции $y=\arcsin(\ln(2x))$ равна $\frac{1}{x\sqrt{1-\ln^2(2x)}}$.